Dalam komentar yang mengikuti jawaban saya untuk pertanyaan terkait, Pengguna ssdecontrol dan Glen_b bertanya apakah normalitas gabungan dan diperlukan untuk menyatakan normalitas jumlah X + Y ? Normalitas sendi itu sudah cukup , tentu saja, sudah terkenal. Pertanyaan tambahan ini tidak dibahas di sana, dan mungkin layak dipertimbangkan sendiri.
Karena normalitas sendi menyiratkan normalitas marginal, saya bertanya
Apakah terdapat variabel acak normal dan sehingga adalah variabel acak normal, tapi dan yang tidak bersama-sama variabel acak normal?
Jika dan tidak perlu memiliki distribusi normal, maka mudah untuk menemukan variabel acak normal tersebut. Salah satu contoh dapat ditemukan di jawaban saya sebelumnya (tautan diberikan di atas). Saya percaya bahwa jawaban untuk pertanyaan yang disorot di atas adalah Ya, dan telah memposting (apa yang saya pikirkan) sebagai contoh untuk pertanyaan ini.
Jawaban:
Biarkan menjadi iid .N ( 0 , 1 )U,V N(0,1)
Sekarang ubah sebagai berikut:(U,V)→(X,Y)
Di kuadran pertama (yaitu ) biarkan dan .X = maks ( U , V )U>0,V>0 X=max(U,V) Y=min(U,V)
Untuk kuadran lain, putar pemetaan ini tentang asal.
Distribusi bivariat yang dihasilkan terlihat seperti (terlihat dari atas):
- ungu mewakili daerah dengan probabilitas dua kali lipat dan daerah putih adalah yang tanpa probabilitas. Lingkaran hitam adalah kontur dengan kerapatan konstan (di mana saja pada lingkaran untuk , tetapi di dalam setiap wilayah berwarna untuk ).( X , Y )(U,V) (X,Y)
Dengan simetri baik dan adalah standar normal (melihat ke bawah garis vertikal atau sepanjang garis horizontal ada titik ungu untuk setiap titik putih yang dapat kita anggap sebagai terbalik di sumbu garis horizontal atau vertikal melintasi)YX Y
tetapi jelas tidak normal bivariat, dan(X,Y)
∼ N ( 0 , 2 ) X + Y Y = XX+Y=U+V yang merupakan (ekuivalen, lihatlah sepanjang garis konstanta dan lihat bahwa kita memiliki simetri yang sama dengan yang kita bahas di 1., tetapi kali ini tentang Garis )∼N(0,2) X+Y Y=X
sumber
Pertimbangkan variabel acak kontinu bersama dengan fungsi kerapatan gabungan mana menunjukkan fungsi kepadatan normal normal.f U , V , W ( u , v , w ) = { 2 φ ( u ) φ ( v ) φ ( w ) jika u ≥ 0 , v ≥ 0 , w ≥ 0 ,U,V,W
Jelas bahwa , dan adalah variabel acak dependen . Juga jelas bahwa mereka bukan variabel acak bersama yang normal. Namun, ketiga pasangan adalah variabel acak independen berpasangan : pada kenyataannya, variabel acak normal standar independen (dan dengan demikian berpasangan bersama-sama variabel acak normal). Singkatnya, adalah contoh variabel acak normal yang berpasangan, tetapi tidak saling independen. Lihat jawaban saya ini untuk lebih jelasnya.U,V W (U,V),(U,W),(V,W) U,V,W
Perhatikan bahwa independensi berpasangan memberi kita bahwa , dan semuanya adalah variabel acak normal rata-rata nol dengan varian . Sekarang, mari kita mendefinisikan dan perhatikan bahwa juga merupakan variabel acak normal rata-rata nol dengan varian . Juga, , sehingga dan adalah variabel acak yang tergantung dan berkorelasi.U+V,U+W V−W 2
Dengan kata lain, normalitas sendi adalah kondisi yang cukup untuk menyatakan normalitas sejumlah variabel acak normal, tetapi itu bukan kondisi yang diperlukan.
Bukti bahwa dan tidak secara bersama-sama normalX Y (U,V,W)→(U+W,V−W,W)=(X,Y,W) fX,Y,W(x,y,w)=fU,V,W(x−w,y+w,w)
Karena transformasi adalah linier, mudah untuk mendapatkan bahwa . Karenanya kita memiliki Tetapi memiliki properti yang nilainya bukan nol hanya ketika tepat satu atau ketiga argumennya tidak negatif. Sekarang anggaplah . Kemudian, memiliki nilai untuk
Komentar: Normalitas gabungan dan sudah cukup untuk normalitas tetapi juga berimplikasi jauh lebih banyak: adalah normal untuk semua pilihan . Di sini, kita perlu menjadi normal untuk hanya tiga pilihan , yaitu., mana dua yang pertama menegakkan yang sering diabaikan kondisi (lihat misalnya jawaban oleh ) bahwa kepadatan (marginal) dan harus kepadatan normal, dan yang ketiga mengatakan bahwa jumlah juga harus memiliki kepadatan normal. Jadi, kita bisaY X + Y a X + b Y ( a , b ) a X + b Y ( a , b ) ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) Y . H . X Y ( a , b )X Y X+Y aX+bY (a,b) aX+bY (a,b) (1,0),(0,1),(1,1) Y.H. X Y memiliki variabel acak normal yang tidak
bersama - sama normal tetapi yang jumlahnya normal karena kami tidak peduli apa yang terjadi untuk pilihan lain .(a,b)
sumber