Kami memiliki eksperimen acak dengan hasil berbeda yang membentuk ruang sampel yang kami perhatikan dengan minat pada pola tertentu, yang disebut eventsSigma-algebras (atau sigma-bidang) terdiri dari peristiwa di mana ukuran probabilitas dapat ditugaskan. Properti tertentu terpenuhi, termasuk dimasukkannya set nol dan seluruh ruang sampel, dan aljabar yang menggambarkan serikat pekerja dan persimpangan dengan diagram Venn.$\Omega,$F . P ∅ $\mathscr{F}.$ $\mathbb{P}$$\varnothing$

Probabilitas didefinisikan sebagai fungsi antara aljabar dan interval . Secara keseluruhan, triple membentuk ruang probabilitas .$\sigma$$[0,1]$$(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$

Bisakah seseorang menjelaskan dalam bahasa Inggris yang sederhana mengapa bangunan probabilitas akan runtuh jika kita tidak memiliki $\sigma$ aljabar? Mereka hanya terjepit di tengah dengan kaligrafi "F" yang mustahil. Saya percaya mereka diperlukan; Saya melihat bahwa suatu peristiwa berbeda dari suatu hasil, tetapi apa yang akan serba salah tanpa $\sigma$ aljabar?

Pertanyaannya adalah: Dalam jenis masalah probabilitas apa definisi ruang probabilitas termasuk $\sigma$ aljabar menjadi suatu keharusan?

Dokumen online ini di situs web Universitas Dartmouth memberikan penjelasan yang dapat diakses dalam Bahasa Inggris. Idenya adalah pointer berputar berputar berlawanan arah jarum jam pada lingkaran unit perimeter:

Kita mulai dengan membangun pemintal, yang terdiri dari lingkaran keliling unit dan penunjuk seperti yang ditunjukkan pada Gambar. Kami memilih titik pada lingkaran dan memberi label $0$ , lalu memberi label setiap titik lain pada lingkaran dengan jarak, katakan $x$ , dari $0$ ke titik itu, diukur berlawanan arah jarum jam. Eksperimen terdiri dari memutar penunjuk dan merekam label titik di ujung penunjuk. Kami membiarkan variabel acak $X$ menunjukkan nilai hasil ini. Ruang sampel jelas intervalnya $[0,1)$. Kami ingin membangun model probabilitas di mana setiap hasil sama-sama mungkin terjadi. Jika kita melanjutkan seperti yang kita lakukan [...] untuk percobaan dengan sejumlah hasil yang mungkin, maka kita harus menetapkan probabilitas $0$ untuk setiap hasil, karena jika tidak, jumlah probabilitas, atas semua hasil yang mungkin, tidak akan sama dengan 1. (Faktanya, menjumlahkan jumlah bilangan real yang tak terhitung adalah bisnis yang rumit; khususnya, agar jumlah tersebut memiliki makna, paling banyak jumlah puncaknya bisa berbeda dari $0$ ) Namun, jika semua probabilitas yang ditetapkan adalah $0$ , maka jumlahnya adalah $0$ , bukan $1$ , sebagaimana mestinya.

Jadi, jika kita menetapkan probabilitas untuk setiap titik, dan mengingat bahwa ada jumlah poin tak terhingga (jumlahnya), jumlah mereka akan bertambah hingga $> 1$ .

Untuk poin pertama Xi'an: Ketika Anda berbicara tentang aljabar, Anda bertanya tentang set yang terukur, jadi sayangnya setiap jawaban harus fokus pada teori ukuran. Saya akan mencoba membangunnya dengan lembut.$\sigma$

Teori probabilitas yang mengakui semua himpunan bagian himpunan tak terhitung akan mematahkan matematika

Pertimbangkan contoh ini. Misalkan Anda memiliki kuadrat satuan dalam , dan Anda tertarik pada probabilitas secara acak memilih titik yang merupakan anggota dari himpunan tertentu di satuan kuadrat. Dalam banyak keadaan, ini dapat dengan mudah dijawab berdasarkan perbandingan area dari set yang berbeda. Sebagai contoh, kita bisa menggambar beberapa lingkaran, mengukur luasnya, dan kemudian mengambil probabilitas sebagai pecahan dari persegi yang jatuh dalam lingkaran. Sangat sederhana.$\mathbb{R}^2$

Tetapi bagaimana jika bidang set bunga tidak didefinisikan dengan baik?

Jika area tidak terdefinisi dengan baik, maka kita dapat memberikan dua kesimpulan yang berbeda tetapi sepenuhnya valid (dalam beberapa hal) tentang apa area tersebut. Jadi kita dapat memiliki di satu sisi dan P ( A ) = 0 di sisi lain, yang menyiratkan 0 = 1 . Ini merusak semua matematika yang tidak bisa diperbaiki. Anda sekarang dapat membuktikan 5 < 0 dan sejumlah hal tidak masuk akal lainnya. Jelas ini tidak terlalu berguna.$P(A)=1$$P(A)=0$$0=1$$5<0$

aljabar adalah patch yang memperbaiki matematika,$\sigma$

Apa itu aljabar , tepatnya? Sebenarnya tidak terlalu menakutkan. Itu hanya definisi set yang dapat dianggap sebagai peristiwa. Elemen yang tidak ada di F tidak memiliki ukuran probabilitas yang ditentukan. Pada dasarnya, σ- aljabar adalah "tambalan" yang memungkinkan kita menghindari beberapa perilaku patologis matematika, yaitu perangkat yang tidak dapat diukur.$\sigma$$\mathscr{F}$$\sigma$

Tiga persyaratan dari medan- dapat dianggap sebagai konsekuensi dari apa yang ingin kita lakukan dengan probabilitas: Lapangan- σ adalah himpunan yang memiliki tiga sifat:$\sigma$$\sigma$

1. Penutupan di bawah serikat yang dapat dihitung.
2. Penutupan di bawah persimpangan yang dapat dihitung.
3. Penutupan di bawah komplemen.

Serikat pekerja yang dapat dihitung dan komponen persimpangan yang dapat dihitung adalah konsekuensi langsung dari masalah rangkaian yang tidak dapat diukur. Penutupan di bawah pelengkap adalah konsekuensi dari Kolmogorov aksioma: jika , P ( A $P(A)=2/3$ seharusnya menjadi 1 / 3 . Tetapi tanpa (3), bisa terjadi bahwa P ( A c ) tidak terdefinisi. Itu akan aneh. Penutupan di bawah komplemen dan aksioma Kolmogorov memungkinkan kita untuk mengatakan hal-hal seperti P ( A ∪ A c ) = P $P(A^c)$$1/3$$P(A^c)$ .$P(A\cup A^c)=P(A)+1-P(A)=1$

Akhirnya, Kami sedang mempertimbangkan peristiwa terkait dengan , jadi kami selanjutnya mengharuskan bahwa Ω ∈ $\Omega$$\Omega\in\mathscr{F}$

Berita bagus: aljabar hanya diperlukan untuk set yang tidak terhitung$\sigma$

Tapi! Ada kabar baik di sini juga. Atau, setidaknya, cara untuk mengatasi masalah ini. Kita hanya perlu aljabar jika kita bekerja dalam himpunan dengan kardinalitas yang tak terhitung. Jika kita membatasi diri untuk himpunan tercacah, maka kita dapat mengambil F = 2 Ω kekuatan set Ω dan kami tidak akan memiliki masalah ini karena untuk dihitung Ω , 2 Ω hanya terdiri dari set terukur. (Ini disinggung dalam komentar kedua Xi'an.) Anda akan melihat bahwa beberapa buku teks benar-benar akan melakukan sulap halus di sini, dan hanya mempertimbangkan set yang dapat dihitung ketika membahas ruang probabilitas.$\sigma$$\mathscr{F}=2^\Omega$$\Omega$$\Omega$$2^\Omega$

Selain itu, dalam masalah geometris di , itu cukup memadai untuk hanya dipertimbangkan$\mathbb{R}^n$ Albebra yang terdiri dari set yang ukuran L n didefinisikan. Untuk menghubungkan ini agak lebih kuat, L n untuk n = 1 , 2 , 3 sesuai dengan pengertian umum tentang panjang, luas dan volume. Jadi apa yang saya katakan dalam contoh sebelumnya adalah bahwa himpunan perlu memiliki area yang terdefinisi dengan baik untuk memiliki probabilitas geometrik yang ditugaskan untuk itu. Dan alasannya adalah ini: jika kita mengakui set yang tidak dapat diukur, maka kita dapat berakhir dalam situasi di mana kita dapat menetapkan probabilitas 1 untuk beberapa peristiwa berdasarkan pada beberapa bukti, dan probabilitas 0 hingga$\sigma$$\mathcal{L}^n$$\mathcal{L}^n$$n=1,2,3$acara acara yang sama berdasarkan beberapa bukti lainnya.

Tapi jangan biarkan koneksi ke set yang tidak terhitung membingungkan Anda! Kesalahpahaman umum bahwa aljabar adalah himpunan yang dapat dihitung. Bahkan, mereka dapat dihitung atau tidak terhitung. Pertimbangkan ilustrasi ini: seperti sebelumnya, kita memiliki satuan persegi. Definisikan F = Semua himpunan bagian dari kuadrat unit dengan  ukuran L 2 yang ditentukan  . Anda bisa menggambar kotak $\sigma$

Jadi sebagai hal yang praktis, hanya membuat pengamatan itu sering cukup untuk membuat pengamatan bahwa Anda hanya mempertimbangkan set Lebesgue-terukur untuk mendapatkan kemajuan terhadap masalah bunga.

Tapi tunggu, apa set yang tidak terukur?

Saya khawatir saya hanya bisa sedikit menjelaskan hal ini sendiri. Tetapi paradoks Banach-Tarski (terkadang paradoks "matahari dan kacang") dapat membantu kita:

Diberikan bola solid dalam ruang 3 dimensi, terdapat dekomposisi bola menjadi sejumlah himpunan bagian terputus-putus, yang kemudian dapat disatukan kembali dengan cara yang berbeda untuk menghasilkan dua salinan identik bola asli. Memang, proses reassembly hanya melibatkan memindahkan potongan-potongan dan memutarnya, tanpa mengubah bentuknya. Namun, potongan-potongan itu sendiri bukan "padatan" dalam arti biasa, tetapi hamburan poin yang tak terbatas. Rekonstruksi dapat bekerja dengan sedikitnya lima buah.

Bentuk teorema yang lebih kuat menyiratkan bahwa dengan memberikan dua benda padat yang "masuk akal" (seperti bola kecil dan bola besar), salah satu dapat dipasang kembali ke yang lain. Ini sering dinyatakan secara informal sebagai "kacang polong dapat dicacah dan disusun kembali menjadi Matahari" dan disebut "kacang polong dan paradoks matahari". 1

$\mathbb{R}^3$$S\in\Omega$$S$$V(S)>V(\Omega)$$P(S)>1$

Untuk mengatasi paradoks ini, seseorang dapat membuat satu dari empat konsesi:

1. Volume set mungkin berubah ketika diputar.
2. Volume penyatuan dua set terpisah mungkin berbeda dari jumlah volumenya.
3. Aksioma Zermelo-Fraenkel menetapkan teori dengan aksioma Choice (ZFC) mungkin harus diubah.
4. Beberapa set mungkin ditandai "tidak dapat diukur", dan seseorang perlu memeriksa apakah suatu set "dapat diukur" sebelum berbicara tentang volumenya.

$\sigma$

$[0,18), [18, 25), [25,34), \dots$$(\Omega,F)$$F$$[18,25)$$[20,30)$$[20,30)$$F$

$(\Omega', F')$$f:$$f^{-1}(1)$$F$$f$

$F$$F$$A$$B$$A \cap B$$A \cup B$. Sekarang, membutuhkan penutupan untuk persimpangan dan serikat yang dapat dihitung memungkinkan kita menanyakan konjungsi atau disjungsi yang dapat dihitung. Dan, meniadakan pertanyaan diwakili oleh set pelengkap. Itu memberi kita aljabar-sigma.

Saya melihat pengantar semacam ini pertama kali dalam buku yang sangat bagus oleh Peter Whittle "Probabilitas melalui harapan" (Springer).

SUNTING

$i$$i$$\sigma$$\sigma$$n$$\sigma$$n$ kasus . Tapi, untuk hukum yang kuat jumlahnya besar$\sigma$

Tetapi apakah kita benar-benar membutuhkan hukum yang kuat dalam jumlah besar? Menurut satu jawaban di sini , mungkin juga tidak.

$n$$n$

$\sigma$

$\sigma$

$\sigma$$A \cup B$$(A\cup B)\cap C$

Aksioma pertama adalah ∅, 𝑋∈𝜎. Anda SELALU tahu kemungkinan tidak terjadi apa-apa (0) atau sesuatu terjadi (1).

Aksioma kedua ditutup di bawah pelengkap. Izinkan saya menawarkan contoh yang bodoh. Sekali lagi, pertimbangkan flip koin, dengan 𝑋 = {𝐻, 𝑇}. Berpura-puralah saya memberi tahu Anda bahwa 𝜎 aljabar untuk flip ini adalah {∅, 𝑋, {𝐻}}. Yaitu, saya tahu kemungkinan TIDAK ADA terjadi, SESUATU terjadi, dan tentang kepala tetapi saya TIDAK tahu probabilitas ekor. Anda benar akan memanggil saya orang bodoh. Karena jika Anda mengetahui probabilitas kepala, Anda secara otomatis mengetahui probabilitas ekor! Jika Anda tahu kemungkinan sesuatu terjadi, Anda tahu probabilitas itu TIDAK terjadi (pelengkap)!

Aksioma terakhir ditutup di bawah serikat yang dapat dihitung. Biarkan saya memberi Anda contoh bodoh lainnya. Pertimbangkan gulungan dadu, atau 𝑋 = {1,2,3,4,5,6}. Bagaimana jika saya memberi tahu Anda aljabar untuk ini adalah {∅, 𝑋, {1}, {2}}. Yaitu, saya tahu probabilitas untuk menggulung 1 atau menggulung 2, tetapi saya tidak tahu probabilitas untuk menggulung 1 atau 2. Sekali lagi, Anda akan dibenarkan memanggil saya idiot (saya harap alasannya jelas). Apa yang terjadi ketika set tidak terputus-putus, dan apa yang terjadi dengan serikat yang tak terhitung jumlahnya agak berantakan, tetapi saya harap Anda dapat mencoba memikirkan beberapa contoh.

$\sigma$

Yah, ini bukan kasus yang sepenuhnya bersih, tetapi ada beberapa alasan kuat mengapa .

Mengapa probabilis memerlukan tindakan?

$\sigma$$\sigma$$P$

Orang-orang membawa set Vitali dan Banach-Tarski untuk menjelaskan mengapa Anda perlu mengukur teori, tapi saya pikir itu menyesatkan . Perangkat Vitali hanya hilang untuk tindakan (non-sepele) yang terjemahan-invarian, yang ruang probabilitas tidak memerlukan. Dan Banach-Tarski membutuhkan rotasi-invarian. Analisis orang peduli tentang mereka, tetapi probabilis sebenarnya tidak .

The raison d'être dari teori ukuran dalam teori probabilitas adalah untuk menyatukan pengobatan RVs diskrit dan kontinu, dan terlebih lagi, memungkinkan untuk RV yang dicampur dan RV yang tidak keduanya.