Biarkan menjadi urutan variabel acak st dalam probabilitas, di mana adalah konstanta tetap. Saya mencoba menunjukkan yang berikut:
dan
keduanya dalam probabilitas. Saya di sini untuk melihat apakah logika saya sehat. Ini pekerjaan saya
MENCOBA
Untuk bagian pertama, kami memiliki
Perhatikan bahwaMaka makaUntuk bagian kedua, kami memiliki Sekarang, karena X n → a sebagai n → ∞ , kita memiliki bahwa X n adalah urutan yang dibatasi. Dengan kata lain, ada bilangan real M < ∞ st | X n | ≤ M . Jadi, | X n - a | < ϵ | X n |
Melihatnya dalam probabilitas, kita memiliki P ( | a
Saya cukup percaya diri pada yang pertama, tetapi saya cukup ragu pada yang kedua. Apakah logika saya masuk akal?
random-variable
convergence
asymptotics
probability-inequalities
coverage-probability
Savage Henry
sumber
sumber
Jawaban:
Rincian bukti kurang penting daripada mengembangkan intuisi dan teknik yang tepat. Jawaban ini berfokus pada pendekatan yang dirancang untuk membantu melakukannya. Ini terdiri dari tiga langkah: "pengaturan" di mana asumsi dan definisi diperkenalkan; "tubuh" (atau "langkah krusial") di mana asumsi-asumsi itu entah bagaimana terkait dengan apa yang harus dibuktikan, dan "kesudahan" di mana bukti itu dilengkapi. Seperti dalam banyak kasus dengan bukti probabilitas, langkah penting di sini adalah masalah bekerja dengan angka (nilai-nilai yang mungkin dari variabel acak) daripada berurusan dengan variabel acak yang jauh lebih rumit itu sendiri.
Konvergensi dalam probabilitas dari urutan variabel acak untuk konstanta suatu cara yang tidak peduli apa lingkungan dari 0 Anda memilih, akhirnya masing-masing Y n - sebuah kebohongan di lingkungan ini dengan probabilitas yang sewenang-wenang dekat dengan 1 . (Saya tidak akan menjelaskan bagaimana menerjemahkan "akhirnya" dan "menutup secara sewenang-wenang" ke dalam matematika formal - siapa pun yang tertarik dengan tulisan ini sudah tahu itu.)Yn a 0 Yn−a 1
Ingat bahwa lingkungan adalah himpunan bilangan real mana pun yang berisi himpunan terbuka yang mana 0 adalah anggotanya.0 0
Penyiapannya rutin. Pertimbangkan urutan dan biarkan O menjadi lingkungan 0 . Tujuannya adalah untuk menunjukkan bahwa akhirnya Y n - 1 akan memiliki kesempatan sewenang-wenang tinggi berbaring di O . Sejak O adalah lingkungan, harus ada ε > 0 yang interval terbuka ( - ε , ε ) ⊂ O . Kami mungkin menyusut ϵ jika perlu untuk memastikan ϵ < 1Yn=a/Xn O 0 Yn−1 O O ϵ>0 (−ϵ,ϵ)⊂O ϵ ϵ<1 juga. Ini akan memastikan bahwa manipulasi selanjutnya sah dan bermanfaat.
Langkah penting adalah menghubungkan dengan X n . Itu tidak memerlukan pengetahuan variabel acak sama sekali. Aljabar ketidaksetaraan angka (mengeksploitasi asumsi a > 0 ) memberi tahu kita bahwa himpunan angka { Y n ( ω )Yn Xn a>0 , untuk ϵ > 0 , ada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan set semua X n ( ω ) yang{Yn(ω)|Yn(ω)−1∈(−ϵ,ϵ)} ϵ>0 Xn(ω)
Setara,
Sejak , sisi kanan U memang adalah lingkungan dari 0 . (Ini dengan jelas menunjukkan apa yang rusak ketika a = 0. )a≠0 U 0 a=0
Kami siap untuk penghentian.
Karena dalam probabilitas, kita tahu bahwa pada akhirnya masing-masing X n - a akan berada di dalam U dengan probabilitas tinggi yang sewenang-wenang. Secara ekivalen, Y n - 1 pada akhirnya akan terletak di dalam ( - ϵ , ϵ ) ⊂ O dengan probabilitas tinggi yang sewenang-wenang, QED .Xn→a Xn−a U Yn−1 (−ϵ,ϵ)⊂O
sumber
Kami diberi itu
dan kami ingin menunjukkan itu
Kami memilikinya
Jadi ekuivalen, kami memeriksa batas probabilitas
Kita dapat memecah probabilitas menjadi dua probabilitas bersama yang saling eksklusif
Untuk elemen pertama kita memiliki serangkaian ketidaksetaraan
Untuk elemen kedua yang kita miliki
Sekali lagi, batas di sisi kanan adalah nol menurut premis kita, jadi batas di sisi kiri juga nol. Karena itu elemen kedua dari probabilitas yang menarik minat kita juga nol. QED.
sumber
sumber