Buktikan atau berikan contoh tandingan:

Jika , maka $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$

Usaha saya :

SALAH: Misalkan dapat mengambil nilai negatif, dan misalkan $X$ $X_n \equiv X$ $\forall$ $n$

LALU , namun untuk genap , tidak sepenuhnya negatif. Sebaliknya, ia berganti negatif ke positif dan negatif. Oleh karena itu, tidak menyatu hampir pasti ke . $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $n$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $X$

Apakah ini jawaban yang masuk akal ?? Jika tidak, bagaimana saya bisa meningkatkan jawaban saya?

self-study convergence geometric-mean Lewkrr
sumber

X_{i}

$X_i$ harus benar-benar positif agar ini bermakna.

user765195

Tentu saja, Anda perlu untuk mendefinisikan dengan benar. Pertama-tama buktikan bahwa konvergen ke sebagai (google "Cesaro mean" di Analisis Nyata dan sesuaikan argumennya). Kemudian, pertimbangkan .

X_{i} > 0

$X_i>0$

G_{n} = (\prod_{i = 1}^{n} X_{i})^{1 / n}

$G_n=(\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}$

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n} / n

$A_n=\sum_{i=1}^n X_n/n$

X

$X$

L_{n} = \log G_{n}

$L_n=\log G_n$

Zen

Dibutuhkan Hasil Analisis Real ini: Jika , maka . Bukti: untuk setiap , ada sedemikian sehingga , untuk setiap . Karenanya, . Karenanya, jika kita memilih , maka , untuk setiap .

x_{n} \to L

$x_n\to L$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n \to L

$\sum_{i=1}^n x_i/n\to L$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

n_{0} \geq 1

$n_0\geq 1$

| x_{n} - L | < ϵ / 2

$|x_n-L|<\epsilon/2$

n \geq n_{0}

$n\geq n_0$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | \leq \sum_{i = 1}^{n_{0}} | x_{i} - L | / n + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n} | x_{i} - L | / n < n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / n + ϵ / 2

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|\leq \sum_{i=1}^{n_0}|x_i-L|/n+\sum_{i=n_0+1}^{n}|x_i-L|/n<n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/n + \epsilon/2$

n_{1} > 2 n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / ϵ

$n_1>2\,n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/\epsilon$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | < ϵ

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|<\epsilon$

n \geq n_{1}

$n\geq n_1$

Zen

Intinya adalah bahwa Anda menghitung rata-rata dengan semakin banyak yang semakin dekat ke , dan mereka akhirnya mendominasi hasilnya.

x_{i}

$x_i$

L

$L$

Zen

Jawaban:

Sebelum membuktikan sesuatu yang menarik, perhatikan bahwa hampir pasti untuk semua bukanlah kondisi yang diperlukan untuk kedua pernyataan tersebut masuk akal, yang digambarkan oleh urutan deterministik . $X_i >0$ $i$ $(-1, -1, 1, 1, 1, \dots)$

Selain itu, pernyataan tersebut memang salah secara umum, sebagaimana dibuktikan oleh urutan deterministik berikut: . $(0, 1, 1, \dots)$

Sekarang, anggap hampir pasti untuk semua , maka pernyataan itu benar dengan argumen berikut: $X_i >0$ $i$

TentukanBerdasarkan kontinuitas , hampir pasti. Dengan demikian, hampir pasti dengan hasil untuk Cesaro berarti juga terbukti dalam komentar di atas. Dengan demikian, dengan kesinambungan , hampir pasti.

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) .

$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(X_i).$

x \mapsto \log (x)

$x\mapsto \log(x)$

\log (X_{n}) \to \log (X)

$\log(X_n)\to\log(X)$

S_{n} \to \log (X)

$S_n \to\log(X)$

x \mapsto \exp (x)

$x\mapsto \exp(x)$

{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n} \to X,

$\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{1/n}\to X,$

ekvall
sumber

Klaim ini salah. Saya memberikan bukti dengan memberikan contoh tandingan.

Misalkan urutan acak didefinisikan sebagai berikut: $X_i$

\begin{aligned} Z_{i} & \sim N (0, 1 / i), i i d, \forall i \in N \\ X_{i} & = 1_{{i \neq 1}} + 1_{{i \neq 1}} Z_{i}, i \in N \end{aligned}

$\begin{align} Z_i &\sim N(0,1/i), iid, \; \forall i \in \mathbb{N} \\ X_i &= 1_{\{i \neq 1\}} + 1_{\{i \neq 1\}}Z_i, \; i \in \mathbb{N} \end{align}$

Jelas, adalah (1) merosot dan (2) konvergen hampir pasti ke karena oleh hukum Chebyshev yang kuat dalam jumlah besar. (Untuk melihat ini, tulis ulang untuk .) $X_i$ $X=1$ $i \longrightarrow \infty$ $Z_i = i^{-0.5}Z$ $Z \sim N(0,1)$

Namun, karena , . Konsekuensinya, , sehingga akan dalam batasnya konvergen menjadi , yaitu . $X_1 = 0$ $\Pi_{i=1}^nX_i = 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ $(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$ $0$ $lim_{n\longrightarrow \infty}(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0$ $\square$

Jeremias K
sumber

Anda tampaknya telah melupakan eksponen .

1 / n

$1/n$

whuber

Terima kasih whuber, saya memperbaikinya :) Saya harus benar-benar bekerja pada membaca hal-hal lebih hati-hati ... Saya juga pertama kali membuktikan bahwa pernyataan itu juga tidak berlaku untuk karena saya tidak membaca dengan benar.

Π_{i = 1}^{n} X_{i}^{1 / i}

$\Pi_{i=1}^nX_i^{1/i}$

Jeremias K

Terima kasih. Semua perhitungan ini tampaknya mengaburkan ide sederhana: jika bukan nol, Anda tidak akan mengubah batas dengan mengubah jumlah hingga nol, tetapi itu akan membuat produk nol dan Anda mendapat kontradiksi. Cukup adil. Namun, kecuali kita diberitahu sebaliknya, pernyataan tentang produk tak terbatas harus dipahami sebagai pernyataan tentang jumlah tak terbatas dari logaritma. Secara khusus, minat pada pertanyaan ini berfokus pada kasus di mana setiap hampir pasti benar-benar positif .

X

$X$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

whuber

@whuber komentar terakhir itu menarik. Apakah memang kasus bahwa batas produk berdasarkan konvensi, atau mungkin menurut definisi (?), Dipahami dalam hal logaritma? Jika demikian, saya juga akan mengubah kata-kata dari jawaban saya di atas. Secara khusus, seruan terakhir untuk kontinuitas akan berlebihan.

ekvall

@Student Alasan dalam jawaban Anda baik-baik saja. Dalam aplikasi statistik, jarang ada orang yang melihat batas geometrik rata-rata kecuali mereka sudah memikirkan logaritma.

whuber