Sebuah pertanyaan terkait dengan Borel-Cantelli Lemma

catatan:

Borel-Cantelli Lemma mengatakan itu

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

Kemudian,

jika

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

dengan menggunakan Borel-Cantelli Lemma

Saya ingin menunjukkan itu

pertama,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ ada

dan kedua,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

Tolong bantu saya menunjukkan dua bagian ini. Terima kasih.

probability self-study stochastic-processes probability-inequalities B11b
sumber

Tidak, lemma Borel-Cantelli tidak mengatakan (semua) bahwa, setidaknya, bukan tanpa asumsi lebih lanjut.

kardinal

@ kardinal dengan baik, bagaimana saya bisa menampilkan dua pernyataan ini? tolong bisakah Anda menjelaskannya kepada saya? saya tidak punya ide yang cukup. saya akan senang jika Anda akan menunjukkan jalan solutin :) terima kasih

B11b

Menambahkan satu "asumsi lebih lanjut".

Zen

A_{n}

$A_n$

Jawaban:

Tidak satu pun dari pernyataan itu yang benar.

$A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

$\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

Alex R.
sumber