Saya mencari beberapa ketidaksetaraan probabilitas untuk jumlah variabel acak yang tidak terikat. Saya akan sangat menghargai jika ada yang bisa memberikan saya beberapa pemikiran.
Masalah saya adalah untuk menemukan batas atas eksponensial atas probabilitas bahwa jumlah variabel acak iid tidak terikat, yang sebenarnya merupakan perkalian dua iid Gaussian, melebihi beberapa nilai tertentu, yaitu, , di mana , dan v_i dihasilkan iid dari \ mathcal {N} (0, \ sigma) .wiviN(0,σ)
Saya mencoba menggunakan Chernoff terikat menggunakan fungsi penghasil momen (MGF), batas yang diturunkan diberikan oleh:
mana adalah MGF dari . Tapi ikatannya tidak terlalu ketat. Masalah utama dalam masalah saya adalah bahwa variabel acak tidak terikat, dan sayangnya saya tidak bisa menggunakan batas ketidaksetaraan Hoeffding.
Saya akan senang jika Anda membantu saya menemukan beberapa ikatan eksponensial yang ketat.
Jawaban:
Menggunakan batas Chernoff yang Anda sarankan untuk beberapa yang akan ditentukan kemudian, mana ketidaksamaan kedua berlaku berkat untuk setiap . Sekarang ambil dan , sisi kanan menjadi yang menghasilkan untuk setiap .s ≤ 1 / ( 2 σ2) - log ( 1 - x )
Cara lain adalah secara langsung menerapkan ketidaksetaraan konsentrasi seperti ketidaksetaraan Hanson-Wright, atau ketidaksetaraan konsentrasi untuk kekacauan Gaussian pesanan 2 yang mencakup variabel acak yang Anda minati.
Pendekatan yang lebih sederhana tanpa menggunakan fungsi menghasilkan momen
Ambil untuk kesederhanaan (jika tidak, orang dapat mengubah skala dengan membaginya dengan ).σ= 1 σ2
Menulis dan . Anda meminta batas atas pada .v = ( v1, . . . , vn)T w = ( w1, . . . , wn)T P( vTw > ϵ N)
Biarkan. Kemudian dengan independensi dan tidak tergantung pada dengan dengan derajat kebebasan.Z= wTv / ∥ v ∥ Z∼ N( 0 , 1 ) v , b ∥ v ∥2 Z χ2 n
Dengan batasan standar pada variabel normal normal dan acak, Menggabungkan dengan ikatan gabungan memberikan batas atas pada dari formulir .χ2 P( | Z| >ϵ n / 2---√) ≤ 2 exp( - ϵ2n / 4 ) ,P( ∥ v ∥ > 2 n--√) ≤ exp( - n ( 2-√- 1 )2/ 2). P( vTw > ϵ N) 2 exp( - ϵ2n / 4 ) + exp( - n ( 2-√- 1 )2/ 2)
sumber
Batas yang Anda peroleh adalah dengan urutan sebagai . Saya tidak berpikir Anda bisa melakukan lebih baik untuk umum . Dari halaman Wikipedia pada Variabel Produk distribusi adalah mana adalah fungsi Bessel yang dimodifikasi. Dari (10.25.3) dalam daftar fungsi DLMF , sehingga untuk cukup besar yang tidak akan memberi Anda batasan sub-Gaussian.e- ϵ ϵ → ∞ ϵ w i v i K 0 ( z ) / π K 0 K 0 ( t ) ∼ e - t / √wsayavsaya K0( z) / π K0 K0( t ) ∼ e- t/ t√ x P(wivi>x)∼∫∞xe−t/t√dt
sumber