Harapan Gamma kuadrat

11

Jika distribusi Gamma diparameterisasi dengan dan , maka:αβ

E(Γ(α,β))=αβ

Saya ingin menghitung ekspektasi Gamma kuadrat, yaitu:

E(Γ(α,β)2)=?

Saya pikir itu adalah:

E(Γ(α,β)2)=(αβ)2+αβ2

Adakah yang tahu kalau ungkapan terakhir ini benar?

Joshua
sumber
1
Ini terkait dengan studi simulasi yang saya kerjakan di mana saya menggambar standar deviasi dari Gamma, dan kemudian menginginkan rata-rata varians (yaitu, Gammas kuadrat).
Joshua

Jawaban:

13

Ekspektasi kuadrat dari setiap variabel acak adalah variansnya ditambah ekspektasinya kuadrat, seperti

D2(X)=E([XE(X)]2)=E(X2)[E(X)]2E(X2)=D2(X)+[E(X)]2 .

Harapan dari distribusi -distribusi yang ditentukan seperti di atas adalah (seperti yang Anda sebutkan), variansnya adalah , oleh karena itu, harapan kuadratnya adalahα / β α / β 2Γα/β α/β2

(α/β)2+α/β2 .

Yaitu: Anda benar.

Tamas Ferenci
sumber
Saya menghargai responsnya, meskipun saya tidak yakin saya mengikuti persamaan Anda --- jika Anda mengikutinya melalui D2 (X) akhirnya sama dengan D2 (X) + E (X) ^ 2
Joshua
3
Baris itu bukan persamaan tunggal! Perhatikan panah di tengah. Bagian pertama (di sisi kiri panah) adalah satu persamaan yang menyiratkan persamaan kedua (di sisi kanan panah). (Dengan menambahkan kedua sisi.)[E(X)]2
Tamas Ferenci
7

Demi kelengkapan, saya akan langsung menghitung momen mentah dari kepadatan. Pertama, di bawah parameterisasi bentuk / laju, distribusi gamma memiliki kerapatan Kami akan menerima begitu saja bahwa untuk setiap pilihan parameter , kami memiliki meskipun hasil ini mudah diperoleh dari identitas Maka itu untuk bilangan bulat positif ,α , β > 0 x = 0 f X ( x )

fX(x)=βαxα1eβxΓ(α),x>0.
α,β>0
x=0fX(x)dx=1,
z=0xz1ezdz=Γ(z).
k
E[Xk]=x=0xkfX(x)dx=1Γ(α)x=0βαxα+k1eβxdx=Γ(α+k)βkΓ(α)x=0βα+kxα+k1eβxΓ(α+k)dx=Γ(α+k)βkΓ(α),
di mana pada langkah kedua dari belakang kita amati bahwa integral sama dengan karena itu adalah integral dari kepadatan gamma dengan parameter dan . Untuk , kami segera memperoleh1α+kβk=2E[X2]=Γ(α+2)β2Γ(α)=(α+1)αβ2. Pendekatan lain adalah melalui fungsi menghasilkan momen: mana kondisi pada diperlukan agar integral untuk bertemu. Kami dapat menulis ulang ini sebagai dan karena itu
MX(t)=E[etX]=x=0βαxα1eβx+txΓ(α)dx=βα(βt)αx=0(βt)αxα1e(βt)xΓ(α)dx=(ββt)α,t<β,
t
MX(t)=(1t/β)α,
E[Xk]=[dkMX(t)dtk]t=0=[(1t/β)αk]t=0j=0k1α+jβ=Γ(α+k)βkΓ(α).
heropup
sumber
Derivasinya sangat jelas, dan bermanfaat.
Yosua