Bagaimana filter dapat memiliki penundaan grup nol?

10

Jika Anda meletakkan paket gelombang melalui passband filter low-pass orde 1, itu akan ditunda oleh kelompok keterlambatan filter, dan tetap amplitudo yang sama, kan?

Jika Anda meletakkan paket gelombang yang sama melalui filter highpass 1st-order komplementer dengan frekuensi cutoff yang sama, kurva keterlambatan grup adalah sama, sehingga penundaan paket akan sama, tetapi kenaikannya jauh lebih rendah, sehingga akan jauh lebih rendah, sehingga ditunda dan dilemahkan untuk diabaikan.

Karena output dari filter highpass sangat kecil, jika Anda menjumlahkan output dari kedua filter ini (seperti dalam crossover audio), saya berharap itu akan sangat berbeda dari output filter lowpass: Sinyal tertunda besar + sangat kecil sinyal tertunda = sinyal tertunda besar.

Namun jika Anda menjumlahkan respons filter, amplitudo adalah 0 dB di mana-mana, dan fase adalah 0 di mana-mana, dan oleh karena itu penundaan grup menjadi 0, yang berarti bahwa paket gelombang keluar tanpa penundaan dan tanpa perubahan. Saya tidak mengerti bagaimana ini bisa terjadi. Jangan filter selalu menimbulkan penundaan? Bagaimana cara filter (yang juga memiliki penundaan grup positif) membatalkan penundaan yang disebabkan oleh saluran lain, terutama ketika ini terjadi di stopband?

Bagian mana yang saya salah pahami di sini?

Jenis crossover yang paling terkenal dengan fase linier adalah crossover non-inverted orde pertama, ... Crossover orde pertama adalah fase minimum ketika outputnya dijumlahkan secara normal; ia memiliki plot fase datar pada 0 °. - Desain Crossover Aktif

dan

Di sini, hasil penjumlahan output bersama-sama menghasilkan pergeseran fase 0 °, yang berarti bahwa amplitudo yang dijumlahkan dan pergeseran fase dari crossover orde 1 setara dengan sepotong kawat. - Linkwitz-Riley Crossovers: A Primer: 1st-Order Crossover Networks

Respons frekuensi crossover orde pertama

Pengujian pada pulsa aktual menunjukkan bagaimana lowpass (biru) menunda pulsa, seperti yang diharapkan, dan bagaimana highpass (hijau) dapat bergabung dengannya untuk menghasilkan pulsa asli (merah), tetapi bagaimana pulsa highpass terjadi sebelum yang asli jika filter highpass adalah kausal dan memiliki penundaan grup positif? Intuisi mengecewakan saya.

masukkan deskripsi gambar di sini

Itu memang menunjukkan bahwa output highpass tidak dapat diabaikan seperti yang saya bayangkan, dan penundaan lebih diabaikan dari yang saya bayangkan, dan ketika Anda memindahkan frekuensi carrier, dua properti ini berubah secara proporsional (delay yang lebih kecil membutuhkan output highpass amplitudo yang lebih rendah) untuk memperbaikinya). Tetapi saya masih belum benar-benar memahaminya.

filters phase group-delay endolit
sumber

Jadi Anda menyiratkan sedang yang kedua filter dicocokkan sehingga mereka alih fungsi sum ke kesatuan (yaitu

)? Itu juga akan menyiratkan bahwa jumlah tanggapan impuls mereka hanya sebuah impuls pada

, yang akan setuju dengan pengamatan Anda tentang penundaan kelompok nol. Saya pikir asumsi Anda bahwa fase kedua filter berjumlah nol mungkin salah.

H_{l p} (z) + H_{h p} (z) = 1

$H_{lp}(z) + H_{hp}(z) = 1$

n = 0

$n=0$

Jason R

@JasonR: Ya, filter orde pertama, highpass dan lowpass, dengan fc yang sama. en.wikipedia.org/wiki/Audio_crossover#First_order

endolith

3

@Jason: endolith memang benar. Orde pertama hi / lo pass merekonstruksi sempurna secara paralel. Ada kasus lain yang melakukan ini juga

Hilmar

Maaf kawan; Saya hanya memikirkan rangkaian kaskade saja. Mengabaikan.

Jason R

6

$\tilde{H}(\omega) = 1-H(\omega)$ . Dalam domain waktu itu berarti bahwa respons impuls dari filter komplementer hanyalah negatif dari respons impuls asli dengan 1 ditambahkan ke sampel pertama. Jadi semua hal "ringy" dibatalkan. Sekarang bentuk filter gratis ini tidak selalu sesuai harapan. Untuk low pass pesanan pertama sebenarnya merupakan high pass pesanan pertama tetapi untuk filter pesanan lebih tinggi cenderung memiliki ayunan di atas / di bawah cutoff. Namun, selalu ada sebagai filter kausal yang stabil.

$\tilde{H}(\omega) = \frac{1}{H(\omega)}$

Jadi ini meninggalkan kita dengan pertanyaan tentang bagaimana menafsirkan keterlambatan kelompok dalam kasus-kasus ini. Kaskade kaskade sebenarnya lebih menarik. Karena filter saling terbalik, fase, dan karenanya keterlambatan grup, satu adalah negatif dari yang lain. Jadi pada frekuensi yang satu filter memiliki penundaan kelompok positif, yang lain memiliki penundaan kelompok negatif. Contoh mudahnya adalah rak rendah dengan + 6dB gain dan rak rendah dengan 6dB potongan. Jadi penundaan kelompok negatif itu sangat nyata dan tentu saja bukan pelanggaran kausalitas. Dalam praktiknya, ini muncul di area filter yang cukup "tidak rata" sehingga interpretasi tradisional "penundaan amplop" tidak cukup berlaku karena ada cukup banyak distorsi amplitudo.

Jika Anda Google "penundaan grup negatif", Anda dapat menemukan beberapa artikel IEEE yang telah menangani masalah ini.

Hilmar
sumber

Ok, tetapi bagian yang membingungkan adalah bahwa kedua filter memiliki penundaan grup positif , namun bergabung untuk menghasilkan output dengan penundaan grup nol.

endolith

3

Ingat bahwa keterlambatan kelompok adalah turunan (negatif) fase. Untuk kaskade paralel, fase kedua sistem tidak menambahkan, seperti yang akan terjadi pada koneksi seri. Oleh karena itu, kita tidak boleh berharap bahwa keterlambatan grup dari kedua sistem akan menambah.

Jason R

2

Berikut ini cara lain untuk berpikir. Penundaan grup sama, tetapi bagian yang tertunda keluar dari fase sehingga mereka membatalkan satu sama lain.

Hilmar

1

Tidak ada salah penerapan keterlambatan kelompok atau pelanggaran fisika atau kausalitas dalam masalah ini. Definisi keterlambatan kelompok sebagai turunan negatif dari fase berkenaan dengan frekuensi masih berlaku, di mana masing-masing filter memiliki penundaan waktu positif yang tidak konstan pada frekuensi. Rinciannya terungkap dalam apa yang terjadi ketika filter terhubung secara paralel atau seri.

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$A_1 e^{j\phi_1}$ $A_1(\omega)e^{j\phi_1(\omega)}$

Pertimbangkan kasus pertama sehubungan dengan pertanyaan OP. Pada persimpangan setiap filter memiliki besaran dan fase yang diberikan sebagai:

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2} + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

$\frac{1}{\sqrt{2}}e^{j\pi/2}\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi/2}$

Dan pada frekuensi tertinggi setiap filter memiliki besaran dan fase yang diberikan sebagai:

$\rightarrow \infty$ $1e^{j0}$

$\rightarrow \infty$ $0e^{-j\pi}$

$-\pi$ $\infty$

Apa yang terjadi di antara memerlukan hubungan matematika khusus antara dua filter agar kombinasi paralel untuk menjumlahkan ke fase nol (dan karena itu penundaan kelompok nol, pada dasarnya membuat kombinasi paralel juga transparan). Pertimbangkan contoh OP di mana kita dapat dengan jelas melihat ada hubungan quadrature dalam fase kedua filter. Jadi kita memiliki:

{SEBUAH}_{1} e^{j ϕ_{1}} + {SEBUAH}_{2} e^{j ϕ_{2}}

$A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{j\phi_2}$

= {SEBUAH}_{1} e^{j ϕ_{1}} + {SEBUAH}_{2} e^{j (ϕ_{1} - π / 2})

$=A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{j(\phi_1 - \pi/2})$

= {SEBUAH}_{1} e^{j ϕ_{1}} + {SEBUAH}_{2} e^{- j π / 2} e^{j ϕ_{1}}

$=A_1e^{j\phi_1} + A_2e^{-j\pi/2}e^{j\phi_1}$

= {SEBUAH}_{1} e^{j ϕ_{1}} - {SEBUAH}_{2} j e^{j ϕ_{1}}

$=A_1e^{j\phi_1} - A_2je^{j\phi_1}$

= e^{j ϕ_{1}} ({SEBUAH}_{1} - j {SEBUAH}_{2})

$=e^{j\phi_1}(A_1-jA_2)$

Agar hasil ini selalu memiliki fase nol untuk semua frekuensi, persamaan berikut harus berlaku:

{SEBUAH}_{1} - j {SEBUAH}_{2} = e^{- j ϕ_{1}}

$A_1-jA_2 = e^{-j\phi_1}$

Atau sebagai alternatif:

{SEBUAH}_{1} + j {SEBUAH}_{2} = e^{j ϕ_{1}}

$A_1+jA_2 = e^{j\phi_1}$

$\phi_1$ $A_1 = cos(\phi_1)$ $A_2 = sin(\phi_1)$ $\phi_1$

Adapun kemungkinan intuisi dengan plot final yang ditunjukkan OP dan pertanyaannya, pertimbangkan bahwa turunannya adalah fungsi lulus tinggi - jika Anda mengambil turunan dari pulsa merah Anda akan mendapatkan pulsa hijau sebagai hasilnya. Anda tidak dapat mulai mendapatkan hasil ini sampai pulsa merah hadir, sehingga tidak ada pelanggaran kausalitas.

Dan Boschen
sumber

0

Saya pikir ini adalah pertanyaan yang agak menarik sehingga saya akan mencoba menjawabnya, meskipun terlambat 5 tahun.

Saya pikir Anda telah menemukan cara untuk menyalahgunakan salah satu cara untuk mengukur keterlambatan grup, yaitu, menghitungnya sebagai turunan negatif dari fase. Dalam situasi ini, metode ini tidak tepat.

Dalam situasi ini cara yang lebih tepat untuk mengukur keterlambatan grup adalah dengan menggunakan input gelombang sinus dan dan mengukur keterlambatan antara input dan output yang dijumlahkan. Tentu saja, untuk mendapatkan gambar yang lengkap, Anda perlu melakukan sapuan frekuensi, yang merepotkan, tetapi akurat.

Jika Anda melakukan ini, saya pikir kita semua bisa setuju Anda akan mengukur keterlambatan grup yang bukan nol.

user5108_Dan
sumber

2

Maaf, itu tidak benar. Group delay didefinisikan sebagai turunan negatif dari fase vs frekuensi. Itulah definisi dan karena itu tidak dapat "salah diterapkan". Apa yang Anda gambarkan sebenarnya akan mengukur penundaan fase, bukan penundaan grup. Dalam kasus lowpass dan highpass filter urutan pertama hasilnya akan sama. Baik penundaan kelompok dan penundaan fase adalah nol pada semua frekuensi.

Hilmar

2 π / f

$2\pi / f$

3

f / ω

$f/\omega$

\partial f / \partial ω

$\partial f/ \partial \omega$

f / ω

$f/\omega$

1 / (2 π)

$1/(2\pi)$

ω = 2 \cdot π \cdot f

$\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$

0

Keterlambatan grup terkait dengan grup yaitu sinyal termodulasi sehingga pengukuran keterlambatan grup harus dilakukan dengan menggunakan grup (sinyal termodulasi). Grup yang memasuki filter harus sama sehubungan dengan bentuknya pada output filter. Bentuknya berarti misalnya spektrum kelompok. Pengukuran yang dilakukan pada frekuensi tunggal tidak menghasilkan informasi tentang keterlambatan grup.

zbyszek
sumber

1

Saya rasa ini tidak akurat. Group delay adalah ukuran kemiringan respons fase pada frekuensi tertentu. Kami menghitung keterlambatan grup pada setiap frekuensi, dan menggunakan bandwidth kami menggunakan "variasi keterlambatan grup" untuk menentukan seberapa besar keterlambatan grup akan bervariasi dibandingkan dengan bandwidth yang diminati. Kita memerlukan serangkaian frekuensi tentu saja untuk menghitung turunan fase, tetapi pemahaman saya adalah bahwa penundaan yang dihitung berdasarkan pengambilan turunan fase sehubungan dengan frekuensi memang merupakan penundaan waktu yang akan Anda ukur untuk gelombang sinus tunggal. pada masing-masing frekuensi tersebut.

Dan Boschen

1

Delay kelompok didefinisikan sebagai turunan negatif dari fase vs frekuensi. Selama Anda mengukurnya, tidak masalah seberapa tepatnya Anda mengukurnya dan hasilnya akan sama. Penundaan grup dapat diinterpretasikan sebagai penundaan amplop sinyal termodulasi pita sempit, tetapi validitas interpretasi sangat tergantung pada keadaan yang tepat.

Hilmar

Bagaimana filter dapat memiliki penundaan grup nol?

Jawaban: