Apa arti sebenarnya dari sistem fase minimum?

29

Apa arti sebenarnya dari sistem fase minimum ? Membaca artikel Wikipedia dan Oppenheim sangat membantu, dalam hal itu, kami memahami bahwa untuk sistem LTI , fase minimum berarti kebalikannya adalah kausal dan stabil. (Jadi itu berarti nol dan kutub ada di dalam lingkaran unit), tetapi apa hubungannya "fase" dan "minimum" dengan itu? Bisakah kita mengatakan suatu sistem adalah fase minimum dengan melihat respons fase dari DFT?

filters filter-design TheGrapeBeyond
sumber

Selamat datang, lakukan Pemrosesan Sinyal! Ini pertanyaan yang bagus. Pastikan untuk membaca FAQ kami yang berisi banyak info berguna tentang situs ini.

Phonon

19

Hubungan "minimum" ke "fase" dalam sistem atau filter fase minimum dapat dilihat jika Anda memplot fase yang tidak terbuka terhadap frekuensi. Anda dapat menggunakan diagram kutub nol respons sistem untuk membantu melakukan plot grafis inkremental dari respons frekuensi dan sudut fase. Metode ini membantu dalam melakukan plot fase tanpa diskontinuitas pembungkus fase.

Letakkan semua nol di dalam lingkaran unit (atau di setengah bidang kiri dalam case waktu kontinu), di mana semua kutub harus juga untuk stabilitas sistem. Tambahkan sudut dari semua kutub, dan negatif dari sudut dari semua nol, untuk menghitung fase total ke titik pada lingkaran satuan, karena titik referensi respons frekuensi bergerak di sekitar lingkaran satuan. Plot fase vs frekuensi. Sekarang bandingkan plot ini dengan plot serupa untuk diagram kutub-nol dengan nol yang ditukar di luar lingkaran unit (fase non-minimum). Kemiringan rata-rata keseluruhan garis dengan semua nol di dalamnya akan lebih rendah daripada kemiringan rata-rata garis lain yang mewakili respons sistem LTI yang sama (misalnya dengan nol yang dipantulkan di luar lingkaran unit). Ini karena "angin" pada sudut fase sebagian besar dibatalkan oleh "

Pengaturan ini, semua nol di dalam lingkaran unit, dengan demikian sesuai dengan peningkatan total minimum dalam fase, yang sesuai dengan keterlambatan fase total rata-rata minimum, yang sesuai dengan kekompakan maksimum dalam waktu, untuk setiap set kutub dan nol yang diberikan (stabil) dengan respon besarnya frekuensi yang sama persis. Dengan demikian hubungan antara "minimum" dan "fase" untuk pengaturan kutub dan nol ini khusus.

Juga lihat gambar kata lama saya dengan pegangan engkol yang aneh di arsip comp.dsp usenet kuno: https://groups.google.com/d/msg/comp.dsp/ulAX0_Tn65c/Fgqph7gqd3kJ

hotpaw2
sumber

Hmm, menarik - jadi kita BISA mengatakan bahwa suatu sistem adalah min-phase dengan melihat respon fase dari DFT-nya lalu kelihatannya, benar?

Spacey

@Mohammad: Salah satu masalah dengan menggunakan DFT untuk respons fase adalah fase membuka, yang mungkin atau mungkin tidak memiliki solusi bentuk yang unik atau tertutup. (Terutama masalah jika ada "diskontinuitas" dalam respons impuls.)

hotpaw2

@ hotpaw2 Dengan membuka bungkus kita membatalkan modulo 2 * pi atau -2 * pi, (dua cara untuk melakukannya), tetapi bahkan kemudian saya tidak berpikir itu akan menjadi masalah.

Spacey

2

hotpaw- Analogi yang bagus. Saya punya buku yang menggunakan Prinsip Argumen dari analisis yang kompleks. Ini bukti elegan, tetapi tidak untuk non-matematikawan.

Bryan

1

@Bryan Ini sepertinya sangat menarik. Apa judul buku itu?

shamisen

9

Seperti yang telah Anda lihat, fase minimum memiliki banyak makna dan implikasi fisik. Dari mana fase berasal adalah bahwa, untuk besarnya respon frekuensi yang diberikan, itu sesuai dengan filter yang memiliki jumlah kelompok keterlambatan paling sedikit. Artinya, Anda dapat memiliki beberapa filter dengan besarnya respons frekuensi yang sama, tetapi salah satunya dapat direalisasikan dengan jumlah penundaan filter terkecil. Dalam hal ini, ini sangat diinginkan dalam sistem kontrol di mana penundaan penyaringan dapat menjadi sangat penting untuk stabilitas. Saya menyalahgunakan beberapa notasi di sini, karena fase "keterlambatan" dapat memiliki banyak makna, tetapi intinya ada di sana (dan untuk keterlambatan grup, itu adalah fakta).

Di alam lain, jika suatu sistem adalah fase minimum, kebalikannya akan memiliki semua kutubnya di dalam lingkaran unit dan bersifat kausal. Jadi sistem fase minimum memiliki invers yang stabil. Ini penting dalam banyak aplikasi lain karena alasan yang jelas. Jika Anda harus menyelesaikan sistem persamaan linear, mengetahui sistem adalah fase minimum menjamin kebalikannya adalah fase minimum, dan dengan demikian stabilitas dijamin (di luar efek kuantisasi).

Mungkin tidak jelas jika suatu sistem adalah fase minimum dengan melihat DFT. Ada hubungan antara besarnya sistem fase minimum dan fase-nya, tetapi mungkin tidak jelas secara visual. Namun, filter kisi adaptif memiliki fitur rapi karena filter fase minimum mudah diidentifikasi jika semua koefisien refleksi kurang dari atau sama dengan satu yang besarnya. Dengan begitu, filter yang dihitung secara adaptif dapat ditentukan jika stabil dengan cepat dengan sedikit logika.

Bryan
sumber

4

Saya ingin menambahkan bahwa kriteria stabilitas "kutub di dalam unit lingkaran" berlaku untuk sistem waktu diskrit, sedangkan untuk sistem waktu kontinu, Anda ingin kutub berada di bagian kiri -plane.

s

$s$

Jason R

Ah ya, bagus sekali. Bagi mereka yang tidak terbiasa dengan transformasi bilinear (yang secara efektif memetakan bidang kiri-s ke lingkaran satuan pada bidang-z), itu perbedaan yang penting. Terima kasih.

Bryan

1

"Hubungan" antara amplitudo log dan fase minimum adalah transformasi Hilbert

Hilmar

Filter fase minimum tampaknya adalah IIR, tetapi seberapa minimum fase mereka dibandingkan dengan FIR?

TheGrapeBeyond

2

Tidak ada alasan bahwa filter fase minimum tidak dapat FIR. Satu-satunya syarat adalah bahwa semua nol filter harus di dalam lingkaran unit. Diberikan filter fase-minimum, Anda selalu dapat mengubahnya menjadi filter fase-minimum yang memiliki respons magnitudo yang sama dengan memindahkan nol apa pun di luar lingkaran unit ke kebalikan konjugatnya. Yaitu, untuk semua filter nol , jika , ganti dengan .

z_{i}

$z_i$

| z_{i} | > 1

$|z_i| > 1$

z_{i}

$z_i$

\frac{1}{z_{i}^{*}}

$\frac{1}{z_i^*}$

Jason R

3

Salah satu sifat paling berguna dari sistem fase minimum adalah bahwa mereka memiliki respons impuls yang paling kompak dalam waktu yang dimungkinkan untuk fungsi amplitudo tertentu. Secara teknis ini dapat dinyatakan sebagai

\sum_{i = 0}^{k} h [i]^{2} = m i n, k ϵ N

$\sum_{i=0}^{k}h[i]^2 = min, k\epsilon \mathbb{N}$

Hilmar
sumber

2

Bukankah seharusnya max daripada min jika memiliki sebagian besar dimuka energi?

h [n]

$h[n]$

Telepon

2

Bacaan

Makalah ini tampaknya memiliki beberapa kebijaksanaan tentang masalah sistem fase minimum:

John Bechhoefer, " Kramers-Kronig, Bode, dan makna nol ", American Journal of Physics 79 , 10 (2011).

nibot
sumber

Apa arti sebenarnya dari sistem fase minimum?

Jawaban: