"Transformasi Fourier tidak dapat mengukur dua fase pada frekuensi yang sama." Mengapa tidak?

Saya telah membaca bahwa transformasi Fourier tidak dapat membedakan komponen dengan frekuensi yang sama tetapi fase yang berbeda. Misalnya, dalam Mathoverflow , atau xrayphysics , tempat saya mendapatkan judul pertanyaan saya dari: "Transformasi Fourier tidak dapat mengukur dua fase pada frekuensi yang sama."

Mengapa ini benar secara matematis?

Itu karena kehadiran simultan dari dua sinyal sinusoidal dengan frekuensi yang sama dan fase berbeda sebenarnya setara dengan sinusoidal tunggal pada frekuensi yang sama, tetapi, dengan fase dan amplitudo baru sebagai berikut:

Biarkan dua komponen sinusodial diringkas seperti ini:

Kemudian dari manipulasi trigionometri dapat ditunjukkan bahwa:

di mana

maka Anda benar-benar memiliki sinusoidal tunggal (dengan fase dan amplitudo baru), dan karenanya tidak ada yang membedakan ...

Jika Anda membaca lebih lanjut, turun ke "Versi sederhana dari transformasi Fourier yang kita bahas di atas tidak dapat menjelaskan pergeseran fase - bagaimana sebenarnya transformasi Fourier melakukannya?" Anda akan mencatat penjelasan yang sedikit lebih baik, mereka menggunakan sinus dan cosinus.

" Matematika Pergeseran Fase (opsional) .

Untuk melihat bagaimana pergeseran fase dapat dipecah menjadi sinus dan cosinus yang tidak bergeser, kita memerlukan identitas trigonometrik: dosa (a + b) = dosa (a) * cos (b) + cos (a) * dosa ( b).

A * dosa (2 * π * f * t + φ) = A * cos (φ) * dosa (2 * π * f * t) + A * dosa (φ) * cos (2 * π * f * t)

Seperti yang Anda lihat, pergeseran fase memindahkan sebagian amplitudo (energi) dari sinyal sinus menjadi sinyal kosinus, tetapi frekuensinya tidak berubah. Jika Anda menggunakan satu nomor representasi kompleks dari transformasi Fourier, pergeseran fasa hanya merupakan rotasi nilai dalam bidang kompleks, dengan besarnya tidak berubah. Fakta bahwa pergeseran fasa hanya memindahkan amplitudo dari sinus ke kosinus berarti bahwa menambahkan dua sinyal dengan frekuensi yang sama dan fase yang berbeda memberikan sinyal dengan keseluruhan pergeseran fasa (rata-rata) pada frekuensi tersebut - dan tidak ada memori komponen. "

Dalam praktiknya ini lebih rumit, lihat " Teknik Fourier Fourier ", " Fase-konjugat Simetri ", dan " FOV dan k-space ". Dalam " Intro to Phase-encoding - I " mereka menjelaskan:

"... ketika dua gelombang sinus (A dan B) dengan frekuensi yang sama tetapi fase yang berbeda ditambahkan bersama-sama, hasilnya adalah gelombang sinus lain dengan frekuensi yang sama tetapi fase yang berbeda. Ketika gelombang sinus berdekatan dalam fase mereka secara konstruktif mengganggu, dan ketika keluar dari fase mereka secara destruktif ikut campur.

... Melihat hanya pada jumlah mereka, Anda cukup melihat gelombang sinus dari frekuensi dan fase tertentu. Tidak mungkin dari single ini pengamatan untuk memilah kontribusi individu yang dibuat oleh gelombang A dan B.

Namun, dengan melakukan dua pengamatan dengan A dan B digeser oleh fase yang berbeda, adalah mungkin untuk menentukan kontribusi individu mereka dengan hanya melihat jumlah mereka. Ini diilustrasikan di bawah ini dalam gambar MR, di mana A dan B adalah dua piksel dalam kolom vertikal yang sama beresonansi pada frekuensi yang dikodekan yang sama (ω). Secara khusus, pada Langkah 0 (baseline, ketika tidak ada gradien pengkodean fase telah diterapkan) total sinyal dari A&B bersama-sama dapat ditulis: Jadi (t) = A dosa ωt + B sin ωt = (A + B) sin ωt.

...

Dari pengukuran tunggal ini pada Langkah 1, kita masih tidak tahu amplitudo individu A dan B, hanya perbedaannya (A − B). Dengan menggunakan informasi dari Langkah 0 dan Langkah 1 bersama-sama, kami dapat mengekstraksi kontribusi sinyal unik dengan aljabar sederhana:

½ [Jadi + S1] = ½ [(A + B) + (A − B)] = A    dan    ½ [Jadi - S1] = ½ [(A + B) - (A − B)] = B

".

Kalau tidak, akan terlihat seperti ini (gambar A):

PFI menampilkan artefak dari berbagai algoritma: (A) algoritma dasar, (B) algoritma BAX, (C) algoritma zero-fill, (D) algoritma dasar menggunakan data yang sebelumnya konstan, koreksi SDPS linier, menggambarkan artefak dari SDPS orde tinggi.

Mungkin sedikit lebih jelas untuk menulis $c\cos(\omega t+\phi)$ sebagai $Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$. Lalu sejak itu$Re$ mendistribusikan lebih dari tambahan, $c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$. Kita bisa memperhitungkannya$ae^{\omega t i}$, dan kami mendapatkannya $Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$. Ini menunjukkan bahwa ketika kita berurusan dengan dua sinyal dengan frekuensi yang sama, kita dapat memfaktorkan bagian yang bergantung pada waktu, membuat setiap sinyal dikarakterisasi oleh suku konstan, dan tentu saja ketika mengambil transformasi Fourier, suku konstanta dapat diperhitungkan. Lebih lanjut kita dapat mencatat itu $c e^{\phi i}$ dapat diartikan sebagai vektor dalam bidang kompleks di mana besarnya $c$ dan sudut diberikan oleh $\phi$. Dan kita bisa melakukan penambahan dalam ruang vektor ini: vektor yang mewakili penjumlahan adalah jumlah dari vektor yang mewakili penjumlahan.

Jadi sementara kedua sinyal mempengaruhi besarnya output, sinyal tambahan tidak akan mempengaruhi di mana dalam ruang fase output.

Saya ingin mengambil jalur versi geometris dari pertanyaan, menggunakan jumlah lingkaran.

Sinus dan cosinus yang "hanya" bagian real dan imajiner dari cisoids, atau eksponensial kompleks (beberapa referensi dapat ditemukan di Bagaimana cara menjelaskan eksponensial kompleks intuitif? , 3D gerak plot untuk sinyal analitik: Heyser pembuka botol / spiral , Fourier Transform Identitas ).

Jika kamu ambil $s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$, kemudian $\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$, atau $\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$, dan Anda dapat melakukan banyak kombinasi. Keuntungan dari cisoid adalah lebih baik menggunakan ruang 2D, karena dapat digambarkan sebagai lingkaran (roda) di mana titik bergerak pada kecepatan yang berbeda yang digerakkan oleh$\omega$. Sejumlah "frekuensi dengan amplitudo berbeda" dapat direpresentasikan pada "jumlah roda pemintal" (dipinjam dari lingkaran harmonik , atau Animasi Seri Fourier ) dengan jari-jari dan kecepatan yang berbeda, seperti digambarkan di sini:

Kembali ke jumlah dua harmonisa pada frekuensi yang sama, masalahnya terbaca sebagai: dapatkah kita memisahkan atau mengukur kombinasi:

Konstanta $a_1$ dan $a_2$bisa jadi rumit, jadi marilah kita menyederhanakan masalah sedikit sebelumnya. Karena Fourier memiliki sifat invarian bergeser, kami dapat memfaktorkan keduanya$e^{2 \pi i\phi_1}$ atau $e^{2 \pi i\phi_2}$, dan pertahankan hanya satu perbedaan fase. Kami juga dapat memfaktorkan amplitudo (yang terbesar misalnya), dan mengurangi pertanyaan menjadi perilaku masalah yang disederhanakan:

with $|a|<1$. This simplification can be written as:

and thus as:

which is another harmonic component with same frequency, but a different phase and amplitude. The complex number $(1+ae^{2\pi i\phi})$ could be rewritten as $\alpha e^{2\pi i\varphi}$, with trigonometric rules as detailed by @Fat32 (which I could detail later if needed). Now, let us geometrize the intuition. The unit circle is the motion of a point (say the tip of the valve) on a running bicycle wheel. The $a$-radius circle is like a small spinning wheel attached to the valve (like the blue and red circles only from the picture above). An now, we look at the motion of a dot on the perimeter of the small wheel.

What does your question ask: if the angular rotation of the small an the big wheel are the same, you cannot tell whether the motion of the dot results from the combination of the motion of two wheels of radii $1$ and $a$ (with some initial angle) or from a single bigger wheel (of radius $\alpha$), with some other starting angle. This is what is mean by $\ref{a}$ and $\ref{b}$.

Dengan kata lain, baik transformasi Fourier, maupun mata manusia, tidak dapat membedakan komponen dengan frekuensi yang sama tetapi fase yang berbeda .

[[Saya akan menambahkan animasi jika saya menemukan waktu]]