Apakah integrator bocor sama dengan filter low pass?

Persamaan yang mengatur integrator bocor (menurut Wikipedia setidaknya) adalah

$\frac{d\mathcal{O}}{dt} + A\mathcal{O}(t) = \mathcal{I}(t)$ .

Apakah integrator bocor waktu kontinu sama dengan filter low pass dengan konstanta waktu- , hingga penskalaan input?$A$

Integrator bocor yang disebut adalah filter tingkat pertama dengan umpan balik. Mari kita cari fungsi transfernya, dengan anggapan bahwa inputnya adalah dan output$x(t)$$y(t)$ :

$$\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t) = x(t)$$

$$\mathcal{L}\left\{\frac{dy(t)}{dt} + Ay(t)\right\} = \mathcal{L}\left\{x(t)\right\}$$

di mana menunjukkan aplikasi Transformasi Laplace . Bergerak kedepan:$\mathcal{L}$

$$sY(s) + AY(s) = X(s)$$

$$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{1}{s + A}$$

(mengambil keuntungan dari Transformasi Laplace properti yang , dengan asumsi bahway(0)=0).$\frac{dy(t)}{dt} \Leftrightarrow sY(s)$$y(0) = 0$

Sistem ini, dengan fungsi transfer , memiliki tiang tunggal pada s = - A . Ingat bahwa respons frekuensinya pada frekuensi ω dapat ditemukan dengan membiarkan s = j ω :$H(s)$$s = -A$$\omega$$s=j\omega$

$$H(j\omega) = \frac{1}{j\omega + A}$$

Untuk mendapatkan gambaran kasar dari respons ini, pertama :$\omega \to 0$

$$\lim_{\omega \to 0} H(\omega) = \frac{1}{A}$$

Jadi sistem DC gain berbanding terbalik dengan faktor umpan balik . Selanjutnya, mari w → ∞ :$A$$w \to \infty$

$$\lim_{\omega \to \infty} H(\omega) = 0$$

Karena itu respons frekuensi sistem menjadi nol untuk frekuensi tinggi. Ini mengikuti prototipe kasar dari filter lowpass. Untuk menjawab pertanyaan Anda yang lain sehubungan dengan waktu yang konstan, ada baiknya memeriksa respons domain waktu sistem. Respons impulsnya dapat ditemukan dengan mengubah inversi fungsi transfer:

$$H(s) = \frac{1}{s+A} \Leftrightarrow e^{-At}u(t) = h(t)$$

di mana adalah fungsi langkah Heaviside . Ini adalah transformasi yang sangat umum yang sering dapat ditemukan dalam tabel transformasi Laplace . Respons impuls ini adalah fungsi peluruhan eksponensial , yang biasanya ditulis dalam format berikut:$u(t)$

$$h(t) = e^{-\frac{t}{\tau}}u(t)$$

di mana didefinisikan sebagai konstanta waktu fungsi. Jadi, dalam contoh Anda, konstanta waktu sistem adalah τ = 1$\tau$ .$\tau = \frac{1}{A}$

Respons frekuensinya sama, ya, tetapi aplikasinya berbeda:

• Dengan filter low-pass, sinyal Anda ada di passband. Frekuensi cutoff filter diatur di atas frekuensi tertinggi yang ingin Anda pertahankan di sinyal Anda.
• Dengan integrator yang bocor, sinyal Anda ada di stopband. Frekuensi cutoff filter diatur di bawah frekuensi terendah dalam sinyal Anda.

Juga, integrator selalu urutan pertama, sementara filter low-pass dapat urutan apa pun.