Properti statistik dari estimasi Kalman di bawah Gaussian noise

Untuk model negara-ruang linear dengan independen Gaussian suara negara dan output dan menebak sempurna untuk keadaan awal, lakukan estimasi Kalman memiliki sifat sebagai berikut:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

dimana

P_{k | k} = V Sebuah r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), atau V Sebuah r ({\hat{x}}_{k | k}), atau V Sebuah r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

adalah negara pada waktu , yang acak $x_k$ $k$
danadalah penghasil Kalman, yaitu output dari filter Kalman. $\hat{x}_{k|k}$ $P_{k|k}$

Apakah ada referensi yang menyebutkan ini?

Terima kasih!

kalman-filters Tim
sumber

Apakah

yang a posteriori diperkirakan kovarians matriks pada waktu

? Sebenarnya tidak ada notasi standar yang digunakan, jadi tidak sepenuhnya jelas apa yang Anda maksud dengan "perkiraan Kalman."

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

Jason R

@Jason: ya, itu ...

Tim

Jawaban:

Dua pernyataan berikut ini setara dengan mengatakan:

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

(1) Bahwa estimator tidak bias ; dan

P_{k | k} = V Sebuah r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

(2) Bahwa estimator konsisten .

Kedua kondisi ini diperlukan agar filter menjadi optimal - yaitu estimasi terbaik dari sehubungan dengan beberapa kriteria. $\mathbf{x}_{k|k}$

Jika (1) tidak benar, maka mean-square error (MSE) akan menjadi bias plus varians (dalam kasus skalar). Jelas, ini lebih besar dari varians saja dan karenanya suboptimal.

Jika (2) tidak benar (yaitu kovarians yang dihitung-filter berbeda dengan kovarians sejati) maka filter juga akan menjadi suboptimal. Karena Keuntungan Kalman didasarkan pada kovarians negara yang dihitung, kesalahan dalam kovarians akan menyebabkan kesalahan dalam perolehan. Kesalahan dalam perolehan berarti pembobotan suboptimal dari pengukuran.

(Seperti yang terjadi, kedua kondisi berlaku untuk filter yang dimodelkan dengan benar. Kesalahan dalam pemodelan, seperti model dinamis atau kovarian kebisingan juga akan membuat filter menjadi kurang optimal).

Sumber: Bar-Shalom , terutama Bagian 5.4 di halaman 232-233.

Damien
sumber

Hal ini penting untuk dicatat bahwa TIDAK variabel acak. Ini adalah keadaan sistem yang deterministik, yang secara umum, variabel dalam . yang sama dengan mengatakan $x_k$ $k$

E ({\hat{x}}_{k | k}) = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

Juga,

V Sebuah r (x_{k}) = 0

$Var(x_k) = 0$

Dan,

P_{k | k} = V Sebuah r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

Latar Belakang

$x_k$ $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

x_{k + 1} = SEBUAH x_{k} + B {kamu}_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

Sebagai referensi: makalah Kalman sendiri:http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

aiao
sumber

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

@Drazick Proses suara biasanya diberi simbol w, dengan varian Q. xk adalah status sistem, tidak masuk akal bahwa statusnya acak; estimasi di sisi lain, sebagai variabel acak, memang masuk akal

aiao

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

w

$w$

k

$k$

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$