Bagaimana cara mendapatkan prediktor filter Kalman stasioner?

Dalam babnya tentang filter Kalman, buku DSP saya menyatakan, tampaknya tiba-tiba, bahwa filter Kalman stasioner untuk suatu sistem

$$\begin{cases} x(t+1) &= Ax(t) + w(t) \\ y(t) &= Cx(t) + v(t) \end{cases}$$

memiliki prediktor

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-A\bar{K}C)\hat{x}(t|t-1) + A\bar{K}y(t)$$

dan kovarians vektor keadaan stasioner dan gain Kalman

ˉ K = ˉ P CT(C ˉ P CT+R)-

$$\bar{P} = A\bar{P}A^T - A\bar{P}C^T ( C\bar{P}C^T + R )^{-1}C\bar{P}A^T + Q$$ $$\bar{K} = \bar{P}C^T(C\bar{P}C^T+R)^{-1}$$

di mana $Q$ dan $R$ menunjukkan kovarian dari kebisingan input $w$ dan kebisingan pengukuran $v$ .

Saya tidak bisa melihat bagaimana mencapai ini dari prediktor varians minimum. Bisakah seseorang menjelaskannya kepada saya, atau mengarahkan saya ke sumber daya yang mendapatkan ungkapan? Ini adalah filter varian minimum varian waktu, yang dapat saya peroleh:

P(t+1|t)=A(P(t|t-1)-P(t

$$\hat{x}(t+1|t) = (A-K(t)C)\hat{x}(t|t-1) + K(t)y(t)$$ K ( t ) = A P ( t | t - 1 ) C T ( C P ( t | t $$P(t+1|t) = A\left(P(t|t-1)-P(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T + R)^{-1}CP(t|t-1)\right)A^T+Q$$ $$K(t) = AP(t|t-1)C^T(CP(t|t-1)C^T+R)^{-1}$$

Saya hanya tidak yakin tentang cara pergi dari sini ke filter stasioner di atas.

Pembaruan: Saya dapat melihat bahwa mengganti dan ke dalam filter varian waktu menghasilkan hasil filter stasioner, tetapi mengapa kalikan dengan ? Apakah ini hanya gejala dari pilihan notasi yang tidak menguntungkan, yang berarti bahwa atau tidak benar-benar menunjukkan perolehan Kalman?K(t)=A ˉ K AK ˉ $\bar{P} = P(t+1|t) = P(t|t-1)$$K(t)=A\bar{K}$$A$$K$$\bar{K}$

Derivasi Anda benar.

K(t)=A ˉ $\bar P = P(t|t-1)$ dan$K(t) = A \bar K$

Apakah ini kebingungan Anda:

1. Mengapa mereka tidak memiliki istilah di Kalman Gain dan Covariance Matrix Expressions?$t|t-1$
2. Bagaimana ini bisa menjadi "stasioner" ketika derivasi Anda menunjukkan bahwa waktunya bervariasi?

---

1. Pilihan yang buruk dari notasi pada buku bagian

Penampilan Mari kita lihat ekspresi: . Fakta bahwa adalah fungsi dari dirinya sendiri menunjukkan hubungan rekursif. Dengan kata lain, ia menggunakan nilai masa lalu. Jadi, BUKAN sama untuk semua instance waktu - Ini berubah di setiap iterasi.$\bar P = A\bar PA^T - A\bar P C^T(C\bar P C^T + R)^{-1}C\bar PA^T + Q$$\bar P$

1. Kesalahpahaman dari kata "stasioner".

Ketika penulis buku mengatakan "stasioner" dia tidak berarti bahwa dan memiliki nilai yang sama setiap saat. Sebagai gantinya, penulis ingin menekankan bahwa ekspresi bagi mereka untuk nilai adalah sama untuk semua realisasi statistik. Stationaritas adalah konsep statistik yang berarti bahwa Statistik sistem sama sepanjang waktu. Lihatlah ekspresi untuk dan lagi. Mereka hanya bergantung pada \$P$$K$$\bar P$$\bar K$

• Nilai-nilai sebelumnya dari diri mereka sendiri
• Matriks transisi dan yang bersifat deterministik dan dalam kasus Anda invarian waktu ( dan adalah sama setiap saat)$A$$C$$A$$C$
• $Q$ dan yang merupakan matriks kovarians derau. 2 matriks ini menggambarkan statistik dari suara-suara dan sama dalam semua realisasi dan contoh waktu.$R$

Gain Kalman, , dan kovariansi negara Matrix akan memiliki nilai yang sama untuk semua realisasi proses acak ini. ( Catatan Sisi: Tidak satu pun dari 2 istilah ini bergantung pada pengukuran, . Jadi mereka dapat dihitung sebelumnya. )$K$$P$$y$

---

Kesimpulan:

Persamaan "varian waktu" yang Anda peroleh sama dengan persamaan dalam buku. Selain itu, perbedaan notasi, ada sedikit kesalahpahaman di pihak Anda tentang apa yang berubah dan apa yang tidak.