Representasi ruang-negara yang berbeda untuk Regresi Otomatis dan filter Kalman

Saya melihat bahwa ada berbagai cara untuk menulis model AR ke dalam representasi state-space, sehingga kita dapat menerapkan filter Kalman untuk memperkirakan sinyal. Lihat Contoh 1, 2 dan 3 di sini .

Saya bertanya-tanya apa perbedaan antara representasi ruang-negara yang berbeda pada estimasi oleh filter Kalman?

Terima kasih!

Sayangnya saya tidak tahu banyak tentang filter Kalman, tapi saya pikir saya bisa membantu Anda dengan hal-hal luar angkasa.

Pada Contoh 1, model AR adalah definisi output rekursif DSP lama yang baik:

$$y_t = \alpha + \phi_1y_{t-1} + \phi_2y_{t-2} + \eta_t$$

Dalam hal ini kita menuliskan model state-space dengan korespondensi langsung dengan persamaan di atas:

$$\begin{pmatrix}y_t \\ y_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Perhatikan bahwa dalam kasus ini, status sistem adalah nilai keluaran saat ini dan sebelumnya.

Dalam contoh kedua, Anda memisahkan negara Anda $c$dari nilai output Anda. Ini berarti bahwa status sekarang dapat berupa apa saja, meskipun mereka masih langsung memetakan ke nilai output. Dengan cara ini kita dapatkan

$$y_t = \mu + c_t$$

$$c_t = \phi_1c_{t-1} + \phi_2c_{t-2} + \eta_t$$

Dan oleh karena itu

$$\begin{pmatrix}c_t \\ c_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{t-1} \\ c_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Anda juga harus mengenali ini sebagai representasi ruang-negara standar dari sistem linier, karena Anda persamaan untuk evolusi negara dan output yang bergantung pada negara adalah dua persamaan yang berbeda . Pemisahan ini sepele dalam hal model AR, tetapi notasi terakhir ini adalah bagaimana kita memikirkan semua model ruang-ruang linear secara umum.

Contoh ketiga adalah yang aneh. Jika Anda mengalikan semua koefisien Anda akan menyadari bahwa itu sebenarnya setara dengan contoh pertama dan kedua. Jadi mengapa melakukannya? Saya ternyata contoh 2 (menjadi representasi ruang-negara yang tepat dari sistem) disebut Bentuk Canonical yang Dapat Dikontrol dari sistem ini. Jika Anda membaca atau menganalisis sistem dengan hati-hati, Anda akan menyadari bahwa kami dapat menempatkan sistem ini ke keadaan apa pun yang kami sukai dengan memberikan nilai-nilai yang berlaku$\phi_1$ dan $\phi_2$ dengan input tunggal $\alpha$. Karena itu kami menyebut sistem seperti itu dapat dikendalikan , dan sangat mudah untuk melihat dari bentuk persamaan state-space ini.

Anda harus memperhatikan bahwa dua sistem linier dapat identik hingga perubahan basis. Ini berarti bahwa kita dapat memilih basis yang berbeda untuk mewakili sistem linier yang sama. Anda dapat meyakinkan diri sendiri bahwa itulah yang kami lakukan untuk beralih dari contoh kedua ke ketiga. Khususnya, kami menyukai transformasi linier ini untuk memindahkan matriks transisi keadaan, sehingga kami akan mendapatkan keadaan yang tidak diketahui$\boldsymbol{s}$

$$y_t = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \boldsymbol{\alpha_t}$$

$$\boldsymbol{\alpha_t} = \begin{pmatrix}s_t \\ s_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_{t-1} \\ s_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

Sekarang kita bisa menggunakan perubahan basis untuk mencari tahu seperti apa keadaan ini $\boldsymbol{s}$ harus sehubungan dengan negara $\boldsymbol{y}$. Dan kita bisa menghitungnya

$$\begin{pmatrix}s_t \\ s_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_t \\ \phi_2 y_{t-1}\end{pmatrix}$$

Bentuk ini (transpos dari Controllability Canonical Form) disebut sebagai Observability Canonical Form karena jika kita dapat menempatkan sistem dalam formulir ini, kita dapat dengan mudah menyimpulkan keadaan sistem yang dapat diamati dengan hanya melihat output. Untuk beberapa deskripsi bentuk kanonik, Anda dapat membaca dokumen ini , dan tentu saja melihat-lihat di web. Perhatikan bahwa dalam dokumen keadaan terbalik, yang tidak mengubah apa pun tentang representasi sistem, hanya menyusun ulang baris / kolom matriks.

Singkatnya, itu semua tergantung pada apa yang Anda coba perkirakan, yaitu apa yang Anda ketahui tentang sinyal dan apa yang tidak. Filter Kalman akan mencoba memperkirakan negara berdasarkan definisi Anda tentang apa itu negara. Masalah konvensionalnya adalah ketika kita mencoba memperkirakan koefisien AR.

Mari kita ambil contoh $AR(2)$ model tanpa suku konstan $\mu$.

$$y_k = a_1y_{k-1} + a_2y_{k-2} + \eta_k$$

Untuk memperkirakan sistem di atas, yang perlu Anda lakukan adalah memperkirakan koefisien AR, $a_1$ dan $a_2$.

Pengaturan Ruang Umum Filter Negara Kalman:

$${\bf x}_{k} = {\bf F}_{k-1}{\bf x}_{k-1} + {\bf w}_k$$ $${\bf y}_{k} = {\bf H}_{k}{\bf x}_{k} + {\bf v}_k$$ ${\bf w}_k= WGN(0, Q^s)$ dan ${\bf v}_k= WGN(0, Q^o)$

Dalam hal ini, kita perlu memperkirakan $a_1$ dan $a_2$. Jadi wajar untuk mengatur negara sebagai koefisien ini.${\bf x}_k = [a_1, a_2]^T$ Untuk contoh ini, koefisien ini konstan (${\bf F}_{k} ={\bf F}_{k-1} = {\bf I}$) dan juga tidak ada noise dalam koefisien ini -> ${\bf w}_k = {\bf 0} \implies Q^s = {\bf 0}$.

Karena semua yang kita amati adalah $y_k$, mereka menjadi ukuran untuk sistem kami. Karena kita telah mendefinisikan apa vektor keadaan, untuk persamaan pengukuran kita harus sama dengan model AR yang diberikan, kita mengganti noise pengukuran kita${\bf v}_k$ dengan $\eta_k$ dan ${\bf H}_{k} = [y_{k-1}, y_{k-2}]$.

$${\bf x}_{k} = {\bf x}_{k-1} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$$ $$y_k = {\bf H}_{k}{\bf x}_{k} + \eta_k = \begin{bmatrix} y_{k-1} & y_{k-2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} + \eta_k$$

Sekarang, Anda dapat menggunakan filter Kalman untuk memperkirakan kondisi Anda dan akibatnya sinyal Anda.

Catatan: Satu-satunya hal yang aneh di sini adalah matriks Anda ${\bf H}_k$ tergantung pada pengukuran Anda $y_k$. Beberapa orang memiliki kesalahpahaman bahwa Keuntungan Kalman dan Negara Covariance Matriks selalu pengukuran independen dan bahwa mereka dapat dihitung sebelumnya. Kasus ini jelas menunjukkan bahwa ini bukan masalahnya. Baik Kalman Gain dan State Covariance Matrix diperkirakan dengan fungsi ${\bf H}_k$, yang dalam hal ini tergantung pada pengukuran.