Ini tidak masuk akal bagi saya, karena ketidaksetaraan Heisenberg menyatakan bahwa ~ 1.
Karena itu ketika Anda memiliki sesuatu yang terlokalisasi dengan sempurna dalam waktu, Anda mendapatkan sesuatu yang sepenuhnya terdistribusi dalam frekuensi. Karenanya hubungan dasar mana adalah operator transformasi Fourier .
Tetapi untuk sisir Dirac , menerapkan transformasi Fourier, Anda menerima sisir Dirac lainnya. Secara intuitif, Anda juga harus mendapatkan jalur lain.
Mengapa intuisi ini gagal?
sumber
Intuisi Anda gagal karena Anda mulai dengan asumsi yang salah. Ketidakpastian Heisenberg tidak mengatakan apa yang Anda pikirkan. Seperti yang sudah Anda katakan dalam pertanyaan Anda, ini merupakan ketimpangan . Lebih tepatnya, itu
Tidak ada alasan mengapa produk ketidakpastian harus dekat dengan batas bawah untuk semua sinyal. Faktanya, satu-satunya sinyal yang mencapai batas terendah ini adalah atom Gabor. Untuk semua sinyal lain, perkirakan itu lebih besar dan mungkin bahkan tak terbatas.
sumber
insinyur listrik bermain sedikit cepat dan longgar dengan fungsi delta Dirac, yang ahli matematika bersikeras bukan fungsi (atau, setidaknya, bukan fungsi "biasa", tetapi merupakan "distribusi"). fakta matematika adalah bahwa jikaf(t)=g(t) "hampir di mana-mana" (yang berarti pada setiap nilai t kecuali untuk jumlah nilai diskrit yang dapat dihitung), maka ∫f(t)dt=∫g(t)dt .
baik fungsif(t)=0 dan g(t)=δ(t) sama di mana-mana kecuali pada t=0 , namun kami insinyur listrik bersikeras bahwa integral mereka berbeda. tetapi jika Anda mengesampingkan perbedaan kecil ini (dan, menurut saya, tidak praktis), jawaban untuk pertanyaan Anda adalah:
fungsi Dirac sisirIIIT(t)≜∑k=−∞+∞δ(t−kT) adalah fungsi periodik dari periode T dan karena itu memiliki serangkaian Fourier: IIIT(t)=∑n=−∞+∞cn ej2πnt/T
jika Anda ledakan keluar koefisien,cn , dari seri Fourier Anda mendapatkan:
yang berarti Anda hanya menyimpulkan sekelompok sinusoid dengan amplitudo yang sama.
dan ada sifat linearitas mengenai Transformasi Fourier ini. sisa buktinya adalah latihan diserahkan kepada pembaca.
sumber
Saya akan mencoba memberikan intuisi. Cara yang mungkin kita pikirkan adalah: "Satu dirac delta memberi kita 1 dalam domain frekuensi. Sekarang saya memberikan Dirac delta dalam jumlah tak terbatas. Bukankah seharusnya saya mendapatkan DC yang lebih tinggi?" Sekarang mari kita lihat apakah dengan menambahkan semua komponen frekuensi yang disebutkan dalam sisir Dirac dalam domain frekuensi (FD), kita mendapatkan sisir Dirac lain dalam domain waktu (TD). Kami menambahkan bentuk gelombang kontinu dan mendapatkan delta pada titik-titik diskrit. Kedengarannya aneh.
Kembali ke FD. Kami memiliki sisir Dirac dengan spasiω0 . Singkatnya, kita memiliki delta di0 , ± ω0, ± 2 ω0, ± 3 ω0 dan seterusnya. Dengan demikian, kami memiliki DC dan jumlah cosinus yang tak terbatas, yaitucos( ω0t ) , cos( 2 ω0t ) , cos( 3 ω0t ) dan seterusnya.
Mari kita pertimbangkan poin dalam domain waktu yang terkait dengant = 2 n πω0 . Semua gelombang kosinus di atas akan memberi kita nilai 1. Oleh karena itu mereka semua menjumlahkan dan memberi kita nilai tidak nol pada titik-titik itu. Sekarang bagaimana dengan yang lain? Kita perlu yakin bahwa mereka semua akan menambahkan hingga nol.
Sekarang sedikit menyimpang, mari kita pertimbangkan bentuk gelombangc o s ( k n ) ; n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ... ∞ . Kita tahu bahwa kecuali k dapat dinyatakan sebagai pecahan dikalikan denganπ , it's aperiodic. What does that mean? There is not a single repeating sample. Each of the samples are unique. Looking it from another perspective, we have infinite number of samples which are unique and part of a cosine wave. This means taking all the infinite points, we will be able to construct a single CONTINUOUS cosine wave completely once. What if cos(kn) is periodic? We already know that the sum of samples will be zero periodically based on value of k. Hence, sum of all the samples of cos(kn) will give us zero for any value of k, except k=2π 's multiple.
Returning back to our original problem : We now take an arbitraryt=t0≠2rπ . Now we have cos(0ω0t0)[dc]+cos(ω0t0)+cos(2ω0t0)+cos(3ω0t0) ....as the value at t=t0 . But we have already proved this infinite sum =0 for any t except t=2nπω0 , where all these cosines add up to give dirac deltas.
sumber