Menghitung seri yang sedikit berosilasi hingga presisi tinggi?

13

Misalkan saya memiliki fungsi yang menarik berikut:

f(x)=k1coskxk2(2coskx).
Ia memiliki beberapa sifat yang tidak menyenangkan, seperti turunannya yang tidak berkesinambungan pada kelipatan rasionalπ. Saya menduga bentuk tertutup tidak ada.

Saya dapat menghitungnya dengan menghitung jumlah parsial dan menggunakan ekstrapolasi Richardson, tetapi masalahnya adalah terlalu lambat untuk menghitung fungsi ke sejumlah angka desimal yang baik (misalnya 100 akan lebih baik).

Apakah ada metode yang dapat menangani fungsi ini dengan lebih baik?

Berikut adalah sebidang f(πx) dengan beberapa artefak:

Derivatif fungsi, $ f '(\ pi x) $

Kirill
sumber
1
Mungkin Anda dapat menggunakan fakta bahwa , di mana T k ( x ) adalah polinomial Chebyshev. Kemudian penjumlahan mulai terlihat seperti serangkaian polinomial rasional. Kemudian jika Anda dapat mengubah seri menjadi polinomial rasional dalam basis Chebyshev, itu akan memungkinkan cara yang sangat efisien untuk menjumlahkannya. Jika Anda tidak terbiasa dengan polinomial dan basis Chebyshev, Numerical Recipes di C memiliki primer yang bagus, dan juga ini: www2.maths.ox.ac.uk/chebfun/ATAP/ATAPfirst6chapters.pdfcHais(kx)=Tk(x)Tk(x)
Jay Lemmon
1
er, yang harus mengatakan cHais(kx)=Tk(cHais(x))
Jay Lemmon
@JayLemmon Terima kasih atas tautannya. Saya akan melihat dan melihat apakah itu membantu.
Kirill
Saya bergabung dengan pesta ini agak terlambat, tetapi apakah Anda sudah mencoba menggunakan pendekatan Padé , yaitu -Algoritma bukannya ekstrapolasi Richardson? ε
Pedro
Dengan analogi dengan kasus integral sangat berosilasi, saya tidak berpikir Anda akan dapat melakukan pekerjaan dengan baik tanpa sedikit pengetahuan tentang pemisahan antara bagian berosilasi dan tidak berosilasi. Jika Anda memiliki pemisahan seperti itu, jawaban deret Fourier memberi Anda konvergensi eksponensial yang mudah.
Geoffrey Irving

Jawaban:

7

Jika teknik analitik dilarang tetapi struktur periodik diketahui, berikut adalah satu pendekatan. Misalkan periodik dengan periode2π, sehingga g(x)=Σjwjeijx di mana wj=1

g(x)=cosx2-cosx
2π
g(x)=jwjesayajx
Jadi, f ( x )
wj=12π02πg(x)e-sayajxdx
Anda baik dapat mendekati integralwjlangsung atau menghitung sekelompokf(x)nilai-nilai dan menggunakan DFT. Dalam kedua kasus, Anda dapat berpotensi menerapkan ekstrapolasi Richardson ke hasilnya. Karena dalam kasus Andag(x)analitik dalam lingkunganR, seri terakhir konvergen secara eksponensial bahkan tanpa Richardson.
f(x)=k1g(kx)khal=k11khaljwjesayajkx=jwjk1(esayajx)kkhal=jwjLihal(esayajx)
wjf(x)g(x)R
Geoffrey Irving
sumber
g(x)=cos(x)/(2-cos(x))
3

Untuk x=2πSebuah/b dengan Sebuah,b bilangan bulat, yang kita miliki

f(x)=k1coskxk2(2-coskx)=k=1bcoskx2-coskxn01(k+bn)2=k=1bcoskx2-coskxψ1(k/b)b2
dimana ψ1(z)adalah fungsi trigamma ( http://en.wikipedia.org/wiki/Polygamma ). Berikut adalah plot fungsi dan turunannya dengan artefak dihapus: Nilai dan turunannya untuk seri
Geoffrey Irving
sumber
Terima kasih. Masalahnya adalah saya memilih fungsi spesifik ini sebagai model untuk fungsi lain yang lebih rumit yang sebenarnya ingin saya evaluasi, memiliki fitur yang serupa, tetapi sebenarnya tidak sama. Saya mengetahui formulir tertutup dari pertanyaan ini di MSE . Saya maksudkan ini sebagai pertanyaan tentang menjumlahkan deret tak hingga secara numerik tanpa bentuk tertutup.
Kirill
Mungkin jawaban saya yang lain lebih baik?
Geoffrey Irving