Konvergensi non-monotonik dalam masalah fixed-point

Latar Belakang

Saya sedang memecahkan varian persamaan Ornstein-Zernike dari teori cair. Secara abstrak, masalah dapat direpresentasikan sebagai penyelesaian masalah titik tetap , di mana A adalah operator integro-aljabar dan adalah fungsi solusi (fungsi korelasi langsung OZ). Saya menyelesaikan dengan iterasi Picard, di mana saya memberikan solusi uji coba awal dan menghasilkan solusi uji coba baru dengan skema mana adalah parameter yang dapat disesuaikan yang mengontrol campuran$A c(r)=c(r)$$A$$c(r)$$c_0(r)$

$$c_{j+1} = \alpha (A c_j) + (1-\alpha)c_j~,$$ $\alpha$$c$dan digunakan dalam solusi uji coba berikutnya. Untuk diskusi ini, mari kita asumsikan bahwa nilai tidak penting. Saya ulangi sampai iterasi bertemu dalam toleransi yang diinginkan, : Dalam varian masalah saya, bergantung pada parameter , dan pertanyaan saya adalah tentang bagaimana konvergensi bergantung pada parameter ini.$Ac$$\alpha$$\epsilon$ $$\Delta_{j+1} \equiv \int d\vec r |c_{j+1}(r)-c_j(r)| < \epsilon~.$$ $A$$\lambda$$Ac=c$

Untuk berbagai nilai untuk , skema iterasi di atas konvergen dengan cepat. Namun, ketika saya mengurangi λ , saya akhirnya mencapai rezim di mana konvergensi non-monotonik, digambarkan di bawah ini. $\lambda$$\lambda$

Pertanyaan Kunci

Dalam solusi berulang untuk masalah titik tetap, apakah konvergensi non-monotonik memiliki arti khusus? Apakah ini menandakan bahwa skema berulang saya berada di ambang ketidakstabilan? Yang paling penting , haruskah konvergensi non-monoton membuat saya curiga bahwa solusi "konvergensi" bukan solusi yang baik untuk masalah titik tetap?

$x$$x=f(x)$$x^*$$\frac{\partial f}{\partial x}(x^*) \le \alpha$$\alpha$$<1$$x^*$

1. $\lambda$

2. Jika solusi Anda telah terkonvergensi dalam toleransi relatif mapan yang juga menyumbang jumlah kecil, maka solusi itu.