Pertimbangkan sistem linear tridiagonal pasti positif simetris mana A ∈ R n × n dan b ∈ R n . Diberikan tiga indeks 0 ≤ i < j < k < n , jika kita mengasumsikan hanya baris persamaan antara i dan k tahan, kita dapat menghilangkan variabel perantara untuk mendapatkan persamaan bentuk u x i + v x j + w x k = c
Pertanyaan : Apakah mungkin untuk memproses ulang sistem linear dalam waktu O ( n ) sehingga persamaan penautan untuk setiap ( i , j , k ) dapat ditentukan dalam waktu O ( 1 ) ?
Jika diagonal adalah 2, offdiagonals adalah - 1 , dan b = 0 , hasil yang diinginkan adalah hasil analitik untuk persamaan Poisson yang diskrit. Sayangnya, tidak mungkin untuk mengubah sistem tridiagonal SPD umum menjadi persamaan Poisson koefisien konstan tanpa melanggar struktur tridiagonal, pada dasarnya karena variabel yang berbeda dapat memiliki tingkat "penyaringan" yang berbeda (kepastian positif ketat lokal). Skala x diagonal sederhana , misalnya, dapat menghilangkan setengah dari DOF 2 n - 1 dari A tetapi tidak pada setengah lainnya.
Secara intuitif, solusi untuk masalah ini akan membutuhkan pengaturan masalah sehingga jumlah skrining dapat diakumulasikan menjadi array ukuran linier dan kemudian entah bagaimana "dibatalkan" untuk sampai pada persamaan penghubung untuk triple yang diberikan.
sumber
Saya ingin tahu apakah Anda dapat melakukan sesuatu yang bermanfaat dengan faktorisasi siklik-reduksi dari A (yang saya yakini masih berukuran O (n)), menggunakan kembali sebanyak mungkin blok yang akan tetap tidak berubah ketika memfaktorkan submatriks utama yang berdekatan dari A. Saya ragu itu memberi Anda O (1), tapi mungkin O (log n) ...
sumber
Berikut upaya lain, yang lebih stabil daripada metode pembatalan tetapi masih belum terlalu baik.
[1]: Gerard Meurant (1992), "Sebuah ulasan tentang kebalikan dari diagonal simetris dan blok matriks tridiagonal".
sumber