Apakah ada pendekatan pemisahan operator untuk PDE multi-fisik yang mencapai konvergensi tingkat tinggi?

16

Diberikan PDE evolusi

kamut=SEBUAHkamu+Bkamu

di mana adalah (mungkin nonlinear) operator diferensial yang tidak bolak-balik, pendekatan numerik yang umum adalah untuk bergantian antara penyelesaianSEBUAH,B

kamut=SEBUAHkamu

dan

kamut=Bkamu.

Implementasi paling sederhana dari ini dikenal sebagai pemecahan Godunov dan akurat urutan pertama. Pendekatan terkenal lainnya, yang dikenal sebagai Strang splitting, adalah urutan ke-2 yang akurat. Apakah ada metode pemisahan operator tingkat tinggi (atau pendekatan diskritisasi multi-alternatif)?

pde multiphysics operator-splitting David Ketcheson
sumber
1
Apakah istilahnya kaku atau tidak kaku? Apakah Anda memiliki fungsi yang menerapkan A dan B, atau apakah Anda hanya memiliki algoritma yang memajukan status dari ke t n + 1 ? Dalam kasus di mana seseorang kaku dan satunya lagi tidak kaku, ada banyak metode yang menarik. tntn+1
Jed Brown

Jawaban:

7

Itu adalah pemahaman saya bahwa rumus BCH adalah cara sistematis untuk memperkirakan eksponensial matriks dari dua matriks non-komutatif.

Matt Knepley
sumber
Tapi bukankah itu mengarah ke istilah yang rumit bahkan ketika PDE itu nyata? Apakah orang menggunakannya untuk diskritisasi urutan kedua?
David Ketcheson
1
Bukan dari ingatanku (atau halaman web). Ini mengarah ke banyak komutator. Dalam kuantum banyak-tubuh, ada cara bagus untuk menyederhanakan ekspresi ini.
Matt Knepley
7

Jika Anda mempertimbangkan operator umum A dan B dan jika Anda hanya ingin membuat langkah waktu positif (yang biasanya Anda perlukan saat memecahkan masalah parabola), ada batasan urutan 2, yaitu, dengan menggunakan segala jenis pemisahan, Anda tidak dapat memperoleh tingkat konvergensi lebih tinggi dari dua. Bukti dasar diberikan dalam makalah baru-baru ini oleh S. Blanes dan F. Casas, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf .

Namun, ada beberapa jalan keluar jika Anda tahu lebih banyak tentang masalah Anda:

  • Asumsikan bahwa Anda dapat menyelesaikan persamaan Anda ke belakang dalam waktu (yang umum untuk, misalnya, persamaan Schrödinger), maka ada banyak peralatan yang tersedia, lihat buku "Integrasi Numerik Geometris" oleh Hairer, Lubich, dan Wanner.
  • Jika operator Anda menghasilkan semigroup analitik, yaitu, Anda dapat memasukkan nilai kompleks untuk t (khas untuk persamaan parabola), baru-baru ini diamati bahwa Anda dapat memperoleh kelengkapan pesanan lebih tinggi dengan masuk ke bidang kompleks. Artikel pertama ke arah itu adalah oleh E. Hansen dan A. Ostermann, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf , dan F. Castella, P. Chartier , S. Descombes, dan G. Vilmart. Pilihan splitting kompleks yang "optimal" dalam beberapa hal adalah topik penelitian saat ini, Anda dapat menemukan beberapa makalah tentang topik pada arxiv.

Kesimpulannya: Jika Anda memasukkan beberapa asumsi pada masalah Anda, Anda bisa mendapatkan sesuatu, tetapi jika tidak, maka memesan 2 adalah maksimum.

PS .: Saya harus mengeluarkan tautan ke Castella et al-paper karena pencegahan spam, tetapi Anda dapat dengan mudah menemukannya di google.

Philipp Dörsek
sumber
5

Kelompok CCSE di LBNL baru-baru ini menggunakan metode Spectral Deferred Correction (SDC) dalam aliran angka mach rendah dengan kimia kompleks. Mereka membandingkan hasil SDC dengan Strang splitting, dan hasilnya sangat menjanjikan.

Berikut adalah kertas konsep dengan perincian: Strategi Kopling Koreksi yang Ditangguhkan untuk Aliran Angka Mach Rendah dengan Kimia Kompleks

Perhatikan bahwa skema SDC adalah skema berulang yang konvergen ke solusi kolokasi akurat tingkat tinggi, tetapi dibangun dari metode urutan pertama.

Matthew Emmett
sumber
2

Kesalahan pemisahan, setidaknya pada prinsipnya, dapat dikurangi dengan metode koreksi spektral tangguhan. Namun, ini tampaknya menjadi bidang penelitian aktif dan tidak benar-benar sesuatu yang siap untuk penggunaan umum.

Brian
sumber