Saya memecahkan untuk matriks A definitif positif jarang besar menggunakan metode konjugat gradien (CG). Dimungkinkan untuk menghitung penentu A menggunakan informasi yang dihasilkan selama penyelesaian?
linear-algebra
optimization
krylov-method
conjugate-gradient
Manuel Schmidt
sumber
sumber
Jawaban:
Menghitung determinan matriks jarang biasanya semahal pemecahan langsung, dan saya ragu bahwa CG akan sangat membantu dalam menghitungnya. Dimungkinkan untuk menjalankan CG untuk iterasi (di mana A adalah n × n ) untuk menghasilkan informasi untuk seluruh spektrum A , dan untuk kemudian menghitung determinan sebagai produk dari nilai eigen, tetapi ini akan menjadi lambat dan secara numerik tidak stabil.n A n×n A
Ini akan menjadi ide yang lebih baik untuk menghitung faktorisasi Cholesky yang jarang-langsung dari matriks Anda, katakanlah , di mana L adalah segitiga yang lebih rendah. Kemudian det ( A ) = det ( L ) det ( L H ) = | det ( L ) | 2 , di mana det ( L ) hanyalah produk dari entri diagonal dari matriks segitiga-bawah L karena nilai eigen dari matriks segitiga terletak di sepanjang diagonal-nya.A=LLH L
Dalam kasus matriks non-singular umum, dekomposisi LU yang diputar harus digunakan, katakanlah , di mana P adalah matriks permutasi, sehingga det ( A ) = det ( P - 1 ) ⋅ det ( L ) ⋅ det ( U ) . Karena P adalah matriks permutasi, det ( P ) = ± 1 , dan, dengan konstruksi, LPA=LU P
sumber
sumber
Tanpa memasukkan (lagi) ke dalam mengapa dan bagaimana faktor-faktor penentu itu jahat, mari kita asumsikan bahwa operator Anda tidak mudah dipengaruhi faktor atau tidak tersedia sebagai matriks sama sekali dan bahwa Anda benar - benar perlu memperkirakan faktor penentu tersebut.
Anda mungkin dapat merekayasa balik bagaimana estimasi penentu ini muncul dalam penerapan standar CG dengan mengikuti Bagian 6.7.3 buku ini.
sumber
sumber