Kuantitas fisik seperti tekanan, kepadatan, energi, suhu, dan konsentrasi harus selalu positif, tetapi metode numerik terkadang menghitung nilai negatif selama proses solusi. Ini tidak oke karena persamaan akan menghitung nilai yang kompleks atau tidak terbatas (biasanya menabrak kode). Metode numerik mana yang dapat digunakan untuk menjamin bahwa jumlah ini tetap positif? Manakah dari metode ini yang paling efisien?
pde
fluid-dynamics
hyperbolic-pde
Jed Brown
sumber
sumber
Jawaban:
Metode yang paling umum adalah mengatur ulang nilai negatif ke beberapa angka positif yang kecil. Tentu saja, ini bukan solusi yang baik secara matematis. Pendekatan umum yang lebih baik yang mungkin berhasil dan mudah, adalah mengurangi ukuran langkah waktu Anda.
Nilai-nilai negatif sering muncul dalam solusi PDE hiperbolik, karena munculnya guncangan dapat menyebabkan osilasi, yang akan cenderung menciptakan nilai-nilai negatif jika ada keadaan hampa udara dekat guncangan. Menggunakan metode pengurangan variasi total (TVD) atau metode non-osilasi ( ENO, WENO ) lainnya dapat mengurangi kecenderungan ini. Metode-metode tersebut didasarkan pada penggunaan pembatas nonlinear untuk menghitung turunan dari solusi. Namun, Anda mungkin masih mendapatkan nilai negatif karena beberapa alasan:
Ada, tentu saja, banyak pendekatan khusus lain untuk persamaan tertentu, seperti dalam kode GeoClaw David George, yang menggunakan pemecah Riemann dengan gelombang non-fisik ekstra untuk menegakkan positif.
sumber
Dengan asumsi kami sedang menyelesaikan persamaan hiperbolik tanpa syarat sumber dan dengan asumsi kami menyediakan kondisi awal fisik, memastikan skema numerik yang kami gunakan adalah Total Variation Diminishing adalah cara yang baik untuk memastikan "fisik" dari solusi yang dihitung. Karena skema TVD mempertahankan monotonisitas, tidak ada minimum atau maksimum baru yang akan dibuat dan solusinya akan tetap dibatasi oleh nilai awal yang mudah-mudahan kita atur dengan benar. Tentu saja masalahnya adalah bahwa skema TVD bukan yang paling jelas. Di antara skema linier, hanya skema urutan pertama adalah TVD (Godunov 1954). Jadi sejak 50-an, berbagai skema TVD non-linear telah dikembangkan untuk menggabungkan akurasi tinggi dan monotonitas untuk solusi persamaan hiperbolik.
Untuk aplikasi saya, menyelesaikan persamaan Navier-Stokes dengan gradien tekanan / densitas besar, kami menggunakan skema sentral MUSCL hibrida untuk menangkap gradien / diskontinuitas besar dan mempertahankan akurasi yang baik dari mereka. Skema MUSCL pertama (MUSCL merupakan kependekan dari Skema Hulu yang Berpusat pada Hulu untuk Hukum Konservasi) dirancang oleh Van Leer pada tahun 1979.
Jika Anda ingin tahu lebih banyak tentang subjek ini, silakan lihat karya-karya Harten, Van Leer, Lax, Sod, dan Toro.
sumber
Jawaban di atas berlaku untuk masalah yang tergantung waktu, tetapi Anda juga bisa menuntut kepositifan dalam persamaan eliptik sederhana. Dalam hal ini, Anda bisa memformulasikannya sebagai ketidaksetaraan variasi , memberikan batasan untuk variabel.
Dalam PETSc, ada dua pemecah VI. Satu menggunakan metode ruang dikurangi, di mana variabel dalam batasan aktif dihapus dari sistem yang harus dipecahkan. Yang lainnya menggunakan metode Newton semi-halus .
sumber
Umumnya, skema diskritisasi yang mengarah ke matriks-M disebut skema monoton dan ini adalah skema tersebut, yang mempertahankan non-negatif.
sumber