Biarkan menjadi nyata, kotak, matriks padat. G dan Q simetris. Membiarkan
menjadi matriks Hamilton. Saya ingin menghitung eksponensial matriks . Saya membutuhkan eksponensial matriks penuh, e t H , tidak hanya produk matriks-vektor. Apakah ada algoritma atau perpustakaan khusus yang tersedia untuk menghitung eksponensial dari matriks Hamilton?
linear-algebra
matrix
dense-matrix
Max Behr
sumber
sumber
Jawaban:
Jawaban yang sangat cepat ...
Eksponensial dari matriks Hamilton adalah symplectic, properti yang mungkin ingin Anda pertahankan, jika tidak, Anda hanya akan menggunakan metode pelestarian non-struktur. Memang, tidak ada keuntungan kecepatan nyata dalam menggunakan metode terstruktur, hanya pelestarian struktur.
Cara yang mungkin untuk menyelesaikan masalah Anda adalah sebagai berikut. Pertama menemukan matriks symplectic sehingga H = M - 1 H M = [ A - G 0 - Sebuah T ] adalah Hamiltonian dan memblokir segitiga atas, dan A memiliki nilai eigen di babak-pesawat kiri. Anda mendapatkan matriks ini misalnya dengan mengambil [ I 0 X I ] , di mana X memecahkan persamaan Riccati yang terkait dengan HH^= M- 1HM.= [ A^0- G^- A^T] SEBUAH^ [ SayaX0saya] X H , Atau (lebih stabil karena itu ortogonal) oleh penataan kembali Schur dekomposisi dan menerapkan trik Laub (yaitu, menggantikan faktor Schur kesatuan [ U 11 U 12 U 21 U 22 ] dengan [ U 11 - U 12 U 12 U 11 ] ). Anda mungkin mengalami kesulitan melakukannya jika Hamiltonian memiliki nilai eigen pada sumbu imajiner, tetapi itu adalah cerita yang panjang dan untuk saat ini saya kira itu tidak terjadi pada masalah Anda.H [ U11U21U12U22] [ U11U12- U12U11]
Setelah Anda memiliki , Anda memiliki exp ( H ) = M exp ( H ) M - 1 , dan Anda dapat menghitung exp ( H ) = [ exp ( A ) X 0 exp ( - A T ) ] , di mana X memecahkan persamaan Lyapunov tertentu, saya percaya sesuatu seperti A X + X A TM. exp( H) = Mexp( H^) M- 1
Kemudian ketiga faktor tersebut bersifat simplektik. Cukup gunakan secara terpisah: jangan menghitung produk atau Anda akan kehilangan properti ini secara numerik.
sumber
Kelemahan dari pendekatan ini:
Positif:
sumber