Solusi kuat dan lemah dari PDE

Bentuk PDE yang kuat mensyaratkan bahwa solusi yang tidak diketahui milik . Tetapi bentuk lemah hanya mensyaratkan bahwa solusi yang tidak diketahui milik H 1 .$H^2$$H^1$

Bagaimana Anda mendamaikan ini?

Mari kita lihat kasus persamaan Poisson yang paling sederhana

$$-\Delta u = f \tag{1}$$ pada domain $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ bersama-sama dengan kondisi Dirichlet yang homogen $$u|_{\partial\Omega} = 0 \tag{2}$$ pada batas $\partial\Omega$ dari $\Omega$ . Kami berasumsi untuk saat ini yang $\partial\Omega$ adalah sebagai halus seperti yang kita inginkan (misalnya, dapat parametrized oleh $C^\infty$ fungsi) - ini akan menjadi penting kemudian.

Pertanyaannya sekarang adalah bagaimana menafsirkan PDE $(1)$ murni formal) ( 1 ) . Biasanya, ini dijawab dengan cara menafsirkan turunan $\Delta$ , tetapi untuk tujuan kami lebih baik fokus pada bagaimana menafsirkan persamaan .

1. PDE $(1)$ diasumsikan berpegang teguh pada setiap $x\in\Omega$ . Agar ini masuk akal, sisi kanan $f$ harus kontinu, jika tidak, kita tidak dapat berbicara tentang nilai-nilai titik $f(x)$ . Ini berarti bahwa turunan (klasik) kedua dari solusi $u$ harus kontinu, yaitu, kita harus mencari $u\in C^2(\Omega)$ .
   
   Fungsi $u\in C^2(\Omega)$ yang memuaskan $(1)$bersama-sama dengan kondisi batas $(2)$ searahnya disebut solusi klasik (kadang-kadang, sayangnya, juga solusi kuat ).

2. Persyaratan bahwa $f$ adalah kontinu terlalu ketat untuk aplikasi praktis. Jika kita hanya mengasumsikan $(1)$ berpegang teguh pada hampir setiap $x\in \Omega$ (yaitu, di mana-mana kecuali untuk set Lebesgue ukuran nol), maka kita bisa lolos dengan $f\in L^2(\Omega)$ . Ini berarti bahwa turunan kedua adalah fungsi dalam $L^2$ , yang masuk akal jika kita mengambil turunan yang lemah dan karenanya mencari $u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ . (Ingat bahwa untuk fungsi$u$ yang tidak terus menerus, kita tidak bisa mengambil syarat batas$(2)$ pointwise. Sejak$\partial \Omega$ memiliki nol Lebesgue mengukur sebagai bagian dari$\bar\Omega$ , pointwise hampir di mana-mana tidak masuk akal baik.)
   
   Sebuah fungsi$u\in H^2(\Omega)\cap H^1_0(\Omega)$ yang memenuhi$(1)$ hampir di semua tempat disebutsolusi kuat. Perhatikan bahwa secara umum perlu dan non-sepele untuk menunjukkan bahwa solusi seperti itu ada dan unik (yang merupakan kasus untuk contoh di sini).

3. $f$$(1)$$H^{-1}(\Omega)$$H^1_0(\Omega)$$f\in H^{-1}(\Omega)$$L^2(\Omega)$$(1)$

   $$\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,dx = \int_\Omega f(x)v(x)\,dx \qquad\text{for all }v\in H^1_0(\Omega)\tag{3}.$$
   $u\in H^1_0(\Omega)$$(3)$

$H^2(\Omega)\subset H^1(\Omega)$

• $(3)$$u\in H^2(\Omega)$$f\in L^2(\Omega)$$H^{-1}(\Omega)$$n=2$$H^2(\Omega)$$C(\bar\Omega)$$\partial\Omega$

• $f\in L^2(\Omega)$

• $H^1_0(\Omega)$$H^2(\Omega)$, atau lebih rumit, persamaan nonlinier; lihat, misalnya, http://www.numdam.org/item/JEDP_2015____A10_0/ .)