Apa tujuan dari fungsi tes dalam Analisis Elemen Hingga?

Dalam persamaan gelombang:

c^{2} \nabla \cdot \nabla kamu (x, t) - \frac{\partial^{2} kamu (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

Mengapa kita pertama kali mengalikan dengan fungsi tes $v(x,t)$ sebelum mengintegrasikan?

finite-element Andy
sumber

Jawaban singkat: Karena metode elemen hingga adalah diskritisasi dari formulasi lemah, bukan formulasi kuat (yang telah Anda berikan). Jawaban sedang: Karena Anda tidak dapat memastikan untuk menemukan fungsi dimensi-terbatas sehingga persamaan terpenuhi; paling baik Anda dapat berharap agar residu menjadi ortogonal ke ruang solusi berdimensi-hingga - atau, ekuivalen, ortogonal dengan elemen apa pun dari ruang tersebut (yang tepatnya merupakan fungsi uji). Integrasi oleh bagian tidak begitu penting, dan dalam kasus Anda demi simetri. Jawaban yang panjang terlalu panjang untuk dikomentari :)

Christian Clason

Penjelasan singkat lainnya: Jika Anda hanya mengintegrasikan dan menetapkan ke nol, Anda meminta mean untuk menghilang - sama sekali tidak apa yang Anda cari, karena residu bisa sangat besar di satu bagian domain, asalkan itu besar dengan tanda yang berlawanan di yang lain. Fungsi tes pada dasarnya "melokalisasi" residu ke setiap elemen.

Christian Clason

Untuk penjelasan alternatif, lihat jawaban ini: scicomp.stackexchange.com/questions/16331/…

Paul

Jawaban:

Anda datang ke belakang. Pembenaran lebih baik dilihat dengan mulai dari pengaturan variasional dan bekerja menuju bentuk yang kuat. Setelah Anda selesai melakukannya, konsep mengalikan dengan fungsi tes dan pengintegrasian kemudian dapat diterapkan ke masalah di mana Anda tidak memulai dengan masalah minimisasi.

Jadi pertimbangkan masalah di mana kami ingin meminimalkan (dan bekerja secara formal dan tidak keras sama sekali di sini):

saya (kamu) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla kamu (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

tunduk pada beberapa syarat batas pada . Jika kita ingin ini mencapai minimum, kita perlu membedakannya sehubungan dengan , yang merupakan fungsi. Ada beberapa cara yang sekarang baik untuk mempertimbangkan jenis turunan ini, tetapi satu cara diperkenalkan adalah untuk menghitung $\partial\Omega$ $I$ $u$

{saya}^{'} (kamu (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} saya (kamu (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

di mana hanya skalar. Anda dapat melihat bahwa ini mirip dengan definisi tradisional turunan untuk fungsi skalar dari variabel skalar tetapi diperluas hingga fungsional seperti yang mengembalikan skalar tetapi memiliki domainnya di atas fungsi. $h$ $I$

Jika kita menghitung ini untuk kita (kebanyakan menggunakan aturan rantai), kita dapatkan $I$

{saya}^{'} (kamu, v) = \int_{Ω} \nabla kamu \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

Menyetel ini ke nol untuk menemukan minimum, kita mendapatkan persamaan yang terlihat seperti pernyataan lemah untuk persamaan Laplace:

\int_{Ω} \nabla kamu \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

Sekarang, jika kita menggunakan Divergence Theorm (alias integrasi multi-dimesi oleh bagian-bagian), kita dapat mengambil turunan dari dan meletakkannya di untuk mendapatkan $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

Sekarang ini benar-benar terlihat dari mana Anda mulai ketika Anda ingin membangun pernyataan lemah dari persamaan diferensial parsial. Dengan gagasan ini sekarang, Anda dapat menggunakannya untuk PDE apa pun, cukup kalikan dengan fungsi tes, integrasikan, terapkan Teorema Divergence, dan kemudian diskritkan.

Bill Barth
sumber

Saya lebih suka menjelaskannya dalam hal meminimalkan sisa tertimbang.

nicoguaro

@nicoguaro, OK maka Anda dapat menulis jawaban itu, dan kami akan melihat mana yang lebih masuk akal untuk OP. :)

Bill Barth

+1 untuk menunjukkan bahwa bentuk lemah sebenarnya (atau setidaknya sering) lebih alami daripada bentuk kuat.

Christian Clason

Menarik. Agak menyinggung, tetapi mengenai "Sekarang ada beberapa cara yang baik untuk mempertimbangkan jenis turunan ini" : satu-satunya metode yang saya pelajari adalah yang Anda sebutkan. Jenis apa lagi yang ada?

user541686

@Mehrdad Metode ini menghitung turunan terarah dan memverifikasi bahwa itu adalah operator linier (dalam

) dan karenanya merupakan turunan Gâteaux. Anda juga dapat datang dari arah lain: Tebak operator linier (misalnya, dengan analogi dengan fungsi nyata) dan verifikasi bahwa itu memenuhi jenis properti pendekatan Taylor orde pertama. Maka itu adalah turunan Fréchet (dan karenanya juga merupakan turunan Gâteaux).

h

$h$

Christian Clason

Seperti yang saya sebutkan sebelumnya, saya lebih suka berpikir tentang bentuk lemah sebagai sisa tertimbang.

Kami ingin mencari solusi perkiraan . Mari kita mendefinisikan sisa sebagai $\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

untuk kasus solusi yang tepat residual adalah fungsi nol di atas domain. Kami ingin menemukan solusi perkiraan yang "baik", yaitu yang membuat "kecil". Jadi, kita dapat mencoba untuk meminimalkan norma residual (metode kuadrat terkecil, misalnya), atau beberapa rata-rata. Salah satu cara melakukannya adalah dengan menghitung residu tertimbang, yaitu, meminimalkan residu tertimbang $R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

$w$ $\hat{u}$

Jika Anda memilih case pertama, maka Anda akan berakhir dengan persamaan seperti yang dijelaskan oleh @BillBarth.

nicoguaro
sumber