Elemen Raviart-Thomas pada kotak referensi

Saya ingin belajar bagaimana elemen Raviart-Thomas (RT) bekerja. Untuk itu saya ingin menjelaskan secara analitik bagaimana fungsi dasar terlihat pada kotak referensi. Tujuannya di sini bukan untuk mengimplementasikannya sendiri, tetapi hanya untuk mendapatkan pemahaman intuitif elemen.

Saya sebagian besar mendasarkan karya ini dari elemen segitiga yang dibahas di sini , mungkin memperluasnya ke segiempat adalah kesalahan dalam dirinya sendiri.

Yang mengatakan, saya bisa mendefinisikan fungsi dasar untuk elemen RK RK0 pertama:

ϕ_{saya} (x) = Sebuah + b x = (\begin{matrix} {Sebuah}_{1} + b_{1} x \\ {Sebuah}_{2} + b_{2} y \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \mathbf{a} + \mathbf{b}\mathbf{x} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x\\a_2 + b_2 y\end{pmatrix}$ untuk

i = 1, \dots, 4.

$i = 1,\dots,4.$

Ketentuan pada $\mathbf{\phi}_i$ adalah:

ϕ_{saya} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{saya j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

di mana $\mathbf{n}_j$ adalah satuan normal yang ditunjukkan di bawah ini, dan $\mathbf{x}_j$ adalah koordinatnya.

RT0

Ini adalah kuadrat referensi , jadi ini mengarah ke sistem persamaan untuk setiap fungsi basis. Untuk ini adalah: $[-1,1]\times[1,1]$ $\mathbf{\phi}_1$

(\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} {Sebuah}_{1} \\ {Sebuah}_{2} \\ b_{1} \\ b_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2\\ b_1\\ b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix}$

yang dapat dipecahkan untuk memberikan:

ϕ_{1} (x) = \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + x \\ 0 \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_1(\mathbf{x}) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + x\\ 0\end{pmatrix}$

Fungsi dasar lainnya dapat ditemukan dengan cara yang sama.

Dengan asumsi ini benar, langkah selanjutnya adalah menemukan fungsi dasar untuk RK1. Di sinilah saya merasa sedikit tidak yakin pada diri sendiri. Menurut tautan di atas, ruang yang kami minati adalah:

P_{1} (K) + x P_{1} (K)

$P_1(K) + \mathbf{x}P_1(K)$

Dasar untuk adalah $P_1$ $\{ 1, x, y\}$

Saya pikir ini berarti fungsi dasar RK1 harus berbentuk:

ϕ_{saya} (x) = (\begin{matrix} {Sebuah}_{1} + b_{1} x + c_{1} y + d_{1} x^{2} + e_{1} x y \\ {Sebuah}_{2} + b_{2} x + c_{2} y + d_{2} x y + e_{2} y^{2} \end{matrix})

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 y + d_1 x^2 + e_1 xy\\ a_2 + b_2 x + c_2 y + d_2 xy + e_2 y^2\end{pmatrix}$

Ini menyisakan 10 yang tidak diketahui untuk setiap fungsi basis. Jika kami menerapkan kondisi yang sama seperti dalam kasus RK0, yaitu:

, di mana adalah satuan normal seperti yang ditunjukkan di bawah ini:

ϕ_{saya} (x_{j}) \cdot n_{j} = δ_{saya j}

$\mathbf{\phi}_i(\mathbf{x}_j)\cdot\mathbf{n}_j = \delta_{ij}$

n_{j}

$\mathbf{n}_j$

RK1

ini memberi kita 8 persamaan. 2 lainnya saya pikir dapat ditemukan dari beberapa saat. Saya tidak begitu yakin bagaimana tepatnya. Tautan di atas berbicara tentang berintegrasi dengan basis untuk , tapi saya kesulitan mencari tahu apa artinya itu. Apakah saya di jalur yang benar, atau apakah saya benar-benar melewatkan sesuatu di sini? $[P_1]^2$

pde finite-element Lukas Bystricky
sumber

Jawaban:

Secara umum, Anda tidak bisa hanya mentransfer basis polinomial yang sama dari tetrahedral ke elemen segiempat. ¹ Secara khusus, seluruh titik elemen segiempat adalah bekerja dengan produk tensor polinomial satu dimensi, yang tidak mungkin untuk elemen tetrahedral.

Sebenarnya ada elemen segi empat Raviart-Thomas, tetapi definisi mereka berbeda. Dalam dua dimensi, ruang polinomial untuk diberikan oleh di mana $RT_k$

P_{k + 1, k} \times P_{k, k + 1},

$P_{k+1,k} \times P_{k,k+1},$

Polinomial khas untuk

akan seperti yang Anda tulis, tetapi untuk

akan menjadi

P_{k, l} = {\sum_{saya = 0}^{k} \sum_{j = 0}^{l} {Sebuah}_{saya j} x^{saya} y^{j} : {Sebuah}_{saya j} \in R} .

$P_{k,l} = \left\{\sum_{i=0}^k\sum_{j=0}^l a_{ij} x^iy^j: a_{ij}\in\mathbb{R}\right\}.$

k = 0

$k=0$

k = 1

$k=1$

Oleh karena itu,

, dan secara umum,

. Ini berarti Anda memerlukan dua derajat kebebasan tambahan, yang harus diletakkan di bagian dalam elemen. (Secara umum, untuk

Anda mengambil

derivatif normal pada setiap aspek, dan derajat sisa kebebasan dari interior.)

(\begin{matrix} {Sebuah}_{1} + b_{1} x + c_{1} x^{2} + d_{1} y + e_{1} x y + f_{2} x^{2} y \\ {Sebuah}_{2} + b_{2} y + c_{2} y^{2} + d_{2} x + e_{2} x y + f_{2} x y^{2} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix} a_1 + b_1 x + c_1 x^2 + d_1 y + e_1 xy + f_2 x^2y\\ a_2 + b_2 y + c_2 y^2 + d_2 x + e_2 xy + f_2 xy^2 \end{pmatrix}.$

\dim R T_{1} = 12

$\dim RT_1 = 12$

\dim R T_{k} = 2 (k + 1) (k + 2)

$\dim RT_k = 2(k+1)(k+2)$

R T_{k}

$RT_k$

k + 1

$k+1$

Untuk menjawab pertanyaan Anda yang sebenarnya: Untuk elemen Raviart-Thomas, Anda biasanya mengambil momen daripada evaluasi poin, yaitu, kondisi yang tersisa berasal dari kondisi

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} ϕ_{saya} (x, y) q_{j} (x, y) d x d x = δ_{saya j},

$\int_{-1}^1 \int_{-1}^1 \phi_i(x,y) q_j(x,y) dx\,dx=\delta_{ij},$

{q_{j}}

$\{q_j\}$

P_{k - 1, k} \times P_{k, k - 1}

$P_{k-1,k}\times P_{k,k-1}$

{1, x, y}

$\{1,x,y\}$

k = 1

$k=1$

\int_{e_{m}} ϕ_{saya} (s)^{T} ν_{e_{m}} q_{m, j} (s) d s,

$\int_{e_m} \phi_i(s)^T\nu_{e_m} \, q_{m,j}(s)\,ds,$

e_{m}

$e_m$

ν_{e_{m}}

$\nu_{e_m}$

m

$m$

q_{m, j}

$q_{m,j}$

P_{k} (e_{m})

$P_k(e_m)$

{1, x}

$\{1,x\}$

{1, y}

$\{1,y\}$

k = 1

$k=1$

$H(div)$

_{$k$ $k$ $k$ $k$ $x^2y$ $3$ $2$}

Christian Clason
sumber

Terima kasih banyak atas jawaban Anda, Anda jelas telah berusaha keras untuk itu. Saya pikir itu menghilangkan banyak kesalahpahaman saya.

Lukas Bystricky

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$

k = 0

$k=0$

\frac{1}{4} ⟨ 1 + x, 0 ⟩^{T}

$\frac{1}{4}\langle 1+x, 0\rangle^T$ . Dengan anggapan ini benar, dapatkah Anda menjelaskan di mana dukungan yang ringkas itu berperan? Sejak

ϕ_{1}

$\mathbf{\phi}_1$ konstan dalam

y

$y$ , itu akan menjadi nol di atas semua elemen di atas dan di bawahnya.

Lukas Bystricky

Senang Anda menemukannya bermanfaat; pertanyaan Anda menarik dan Anda menghabiskan banyak usaha juga. Dukungan kompak berasal dari fakta bahwa polinomial hanya didefinisikan pada elemen referensi - ingat bahwa Raviart-Thomas adalah elemen yang sesuai H (div), dan dengan demikian fungsi dalam ruang elemen hingga global tidak perlu kontinu.

Christian Clason

Sebenarnya, ini hanya berlaku untuk fungsi dasar yang terhubung ke derajat interior kebebasan: Fungsi dasar (global) yang terhubung ke derajat tepi kebebasan memiliki dukungan pada (hanya) dua elemen yang terhubung oleh tepi; pada setiap elemen lainnya, mereka disetel ke nol.

Christian Clason

Sebenarnya sebenarnya: untuk elemen tepi hanya jejak normal yang harus kontinu, bukan polinomial itu sendiri, sehingga bahkan yang harus dijaga secara otomatis tanpa memperluas dukungan. Jika Anda membutuhkan detail lebih lanjut tentang ruang global Raviart-Thomas, saya sarankan Anda memperluas pertanyaan Anda, dan saya akan mencoba memperluas jawaban saya.

Christian Clason