Apakah ada generalisasi Hukum Sylvester Inersia untuk masalah nilai eigen simetris yang digeneralisasi?

Saya tahu bahwa untuk memecahkan simetris eigen masalah , kita dapat menggunakan Sylvester Inersia Hukum, yaitu jumlah nilai eigen dari kurang dari sama dengan jumlah entri negatif dari mana matriks diagonal berasal dari LDL faktorisasi . Kemudian, dengan metode pembagian dua, kita dapat menemukan semua atau beberapa nilai eigen yang diinginkan. Saya ingin tahu apakah ada generalisasi Hukum Sylvester Inersia untuk masalah nilai eigen umum simetris, yaitu menyelesaikan $Ax = \lambda x$ $A$ $a$ $D$ $D$ $A-aI = LDL^{T}$ , di mana dan adalah matriks simetris. Terima kasih. $Ax= \lambda Bx$ $A$ $B$

linear-algebra eigensystem Willowbrook
sumber

Jawaban:

Ya, jika pensilnya pasti, yaitu, jika dan adalah Hermitian dan adalah pasti positif. Maka tanda tangan dari memiliki penafsiran yang sama untuk masalah nilai eigen seperti dalam kasus . Hasil yang lebih umum dari jenis ini berlaku untuk masalah nilai eigen nonlinier yang pasti . Lihat Bagian 5.3 buku saya $A$ $B$ $B$ $A-\sigma B$ $(A-\lambda B)x=0$ $B=I$ $A(\lambda)x=0$

Arnold Neumaier, Pengantar analisis numerik, Cambridge Univ. Pers, Cambridge 2001.

Untuk , bukti pernyataan saya dapat disimpulkan dari argumen yang diberikan oleh Jack Poulson setelah mencatat bahwa dan adalah kongruen, maka memiliki inersia yang sama. $(A-\lambda B)x=0$ $C-\sigma I$ $A-\sigma B$

Secara khusus, satu langsung dapat menghitung inersia , dan tidak membutuhkan faktorisasi Cholesky dari untuk membentuk . Memang, jika tidak dikondisikan maka pembentukan numerik menurunkan kualitas tes inersia. $A-\sigma B$ $B$ $C$ $B$ $C$

Arnold Neumaier
sumber

Poin bagus tentang pengondisian B; Saya pikir pendekatan Anda lebih baik jika seseorang benar-benar hanya tertarik menghitung inersia. Pendekatan yang saya sarankan khas untuk benar-benar memecahkan masalah nilai eigen (dalam kasus di mana

dikondisikan dengan baik).

B

$B$

Jack Poulson

@JackPoulson: Tes inersia biasanya diterapkan untuk mendapatkan nilai eigen dalam interval tertentu ketika

dan

jarang dan pola sparitas gabungannya menghasilkan pengisian yang tidak terlalu banyak. Tetapi

Anda akan menjadi padat ketika

adalah tridiagonal, karenanya menggunakannya tidak pernah cocok untuk menemukan nilai eigen dari masalah nilai eigen umum jarang yang besar. (Sedangkan jika masalahnya tidak besar, ada sedikit gunanya menggunakan inersia, karena menemukan semua nilai eigen biasanya cukup cepat.)

A

$A$

B

$B$

C

$C$

B

$B$

Arnold Neumaier

Pasti; sepertinya saya keliru meninggalkan kata "padat" dari komentar saya.

Jack Poulson

$B$ $B$ $B = L L^H$

A x = L L^{H} x λ,

$Ax=LL^H x \lambda,$

dan persamaan ini dapat dimanipulasi untuk menunjukkan hal itu

(L^{- 1} A L^{- H}) (L^{H} x) = (L^{H} x) λ,

$(L^{-1} A L^{-H})(L^H x) = (L^H x) \lambda,$

$C \equiv L^{-1} A L^{-H}$ $A$ $(A,B)$ $C$ $C$ $(A,B)$

$S \cdot S^H$ $C$ $A$ $L^{-1} \cdot L^{-H}$ $C$ $A$ $C-\sigma I$ $\sigma$ $A$

Jack Poulson
sumber

Sebuah downvote tanpa kritik yang membangun?

Jack Poulson

Saya belum logout di komputer kantor saya, dan teman kantor saya kebetulan menemukan tab ini di browser saya dan menurunkan jawabannya, saya minta maaf atas kesalahpahaman dan akan bertanya kepadanya mengapa dia menurunkan ini.

Shuhao Cao

B

$B$

(A, B)

$(A,B)$

A

$A$

B

$B$

@ Jon: Huh. Bukan itu tujuan downvote.

Jack Poulson

Aku tahu! Saya sudah mengatakan kepadanya "tolong baca aturannya" setelah saya menemukan bahwa dia menggunakan akun saya untuk menurunkan jawaban yang relevan!

Shuhao Cao