Bagaimana dengan perkiraan kesalahan sederhana ini untuk PDE linier?

10

Misalkan Ω menjadi domain Lipschitz yang dibatasi secara cembung di R2 , misalkan fL2(Ω) .

Maka solusi dari masalah Dirichlet Δu=f dalam Ω , traceu=0 pada Ω memiliki solusi unik dalam H2 dan berpose dengan baik, yaitu untuk beberapa konstanta C kita memiliki uH2CfL2 .

Untuk beberapa perkiraan elemen hingga uh , katakanlah, dengan elemen nodal pada grid yang seragam, kami memiliki estimasi kesalahan

uuhH1ChuH2

Tampaknya (mungkin saya salah dengan itu) bahwa orang biasanya tidak menggunakan estimasi kesalahan yang jelas

uuhH1ChfL2

yang bisa kita dapatkan dengan kombinasi dari dua ketidaksetaraan di atas. Sebaliknya, penduga kesalahan posteriori dikembangkan dalam berbagai bentuk. Satu-satunya keberatan yang dapat saya bayangkan terhadap persamaan di atas adalah bahwa konstanta C dalam praktiknya terlalu pesimistis atau tidak dapat diestimasi dengan andal.

shuhalo
sumber

Jawaban:

8

Alasan mengapa orang lebih suka menggunakan estimasi pertama, menurut saya, adalah yang pertama muncul secara alami dari ortogonalitas Galerkin dari FEM, properti perkiraan interpolasi, dan yang paling penting adalah koersivitas bentuk bilinear (untuk masalah nilai batas persamaan Poisson , ini setara dengan ketidaksetaraan Poincaré / Friedrichs untuk fungsi ): H01

uuhH1(Ω)2c1(uuh)L2(Ω)2(uuh)L2(Ω)2=Ω(uuh)(uuh)=Ω(uuh)(uIu)(uuh)L2(Ω)(uIu)L2(Ω)(uuh)L2(Ω)(uIu)L2(Ω)c2huH2(Ω)
mana bergantung pada konstanta dalam ketidaksetaraan Poincaré / Friedrichs untuk fungsi , adalah interpolasi pada finite ruang elemen, danc1H01Iuuc2 tergantung pada sudut minimum mesh.

Sementara estimasi keteraturan elips semata-mata pada tingkat PDE, tidak ada hubungannya dengan perkiraan, ditambah argumen di atas berlaku bahkan ketika adalah distribusi.uH2(Ω)cfL2(Ω)fH1

Sekarang beralih ke alasan mengapa estimasi kesalahan posteriori banyak digunakan, terutama karena:

  • Itu dapat dihitung, tidak ada konstanta generik dalam ekspresi estimasi.

  • Estimator memiliki bentuk lokal, yang bisa menjadi indikator kesalahan lokal yang digunakan dalam prosedur pemurnian mesh adaptif. Oleh karena itu, masalah singularitas atau geometri yang benar-benar "buruk" dapat diatasi.

Kedua jenis perkiraan a priori yang Anda cantumkan valid, mereka memberikan kami informasi pesanan konvergensi, namun tidak satupun dari mereka bisa menjadi indikator kesalahan lokal hanya untuk satu segitiga / tetrahedron, karena tak satu pun dari mereka dapat dihitung karena konstanta , juga tidak ditentukan secara lokal.

SUNTING: Untuk lebih banyak pandangan umum tentang FEM untuk elips PDE, saya sangat merekomendasikan membaca Bab 0 dalam buku Brenner dan Scott: Teori Matematika Metode Elemen Hingga , yang terdiri hanya 20 halaman dan mencakup secara singkat hampir setiap aspek metode elemen hingga. , dari formulasi Galerkin dari PDE, hingga motivasi mengapa kami ingin menggunakan FEM adaptif untuk mengatasi beberapa masalah. Semoga ini bisa membantu Anda lebih banyak.

Shuhao Cao
sumber
1

Perkiraan Anda terlalu pesimis di dua sisi. Anda telah mengidentifikasi yang pertama ( sekarang tidak hanya menyertakan konstanta interpolasi tetapi juga konstanta stabilitas). Yang kedua adalah bahwa estimasi kesalahan benar-benar membaca Perhatikan bahwa sisi kanan memiliki seminorm , bukan norma. Tentu saja Anda dapat mengikat rhs dengan norma penuh, tetapi Anda kehilangan lagi dengan cara ini.C

eL2Ch|u|H2.
H2
Wolfgang Bangerth
sumber