Apa manfaat relatif dari menggunakan algoritma Adams-Moulton daripada Adams-Bashforth?

Saya memecahkan sistem dua digabungkan PDE dalam dua dimensi spasial dan waktu komputasi. Karena evaluasi fungsi mahal, saya ingin menggunakan metode multistep (diinisialisasi menggunakan Runge-Kutta 4-5).

Metode Adams-Bashforth menggunakan lima evaluasi fungsi sebelumnya memiliki kesalahan global (ini adalah kasus di mana dalam artikel Wikipedia yang dirujuk di bawah), dan memerlukan satu evaluasi fungsi (per PDE) per langkah. $O(h^5)$ $s=5$

Metode Adams-Moulton di sisi lain memerlukan dua evaluasi fungsi per langkah: satu untuk langkah prediksi, dan satu lagi untuk langkah korektor. Sekali lagi, jika lima evaluasi fungsi digunakan, kesalahan global adalah . ( dalam artikel Wikipedia) $O(h^5)$ $s=4$

Jadi apa alasan di balik penggunaan Adams-Moulton atas Adams-Bashforth? Ini memiliki kesalahan dengan urutan yang sama, untuk dua kali jumlah evaluasi fungsi. Secara intuitif masuk akal bahwa metode prediktor-korektor harus disukai, tetapi dapatkah seseorang menjelaskan hal ini secara kuantitatif?

Referensi: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_multistep_method#Adams.E2.80.93Bashforth_methods

pde algorithms finite-element error-estimation SimonSciComp
sumber

Pertanyaan ini salah . Anda merujuk pada Adams-Moulton, yang merupakan metode yang sepenuhnya implisit, tetapi kemudian Anda mendiskusikan sebenarnya menggunakan metode prediktor-korektor. Mereka sama sekali bukan hal yang sama .

David Ketcheson

@ David Metode Adams-Moulton yang saya rujuk (kadang-kadang disebut Adams-Bashforth-Moulton) adalah metode prediktor-korektor. Langkah prediktor dilakukan dengan menggunakan Adams-Bashforth. Hasil prediksi ini kemudian digunakan dalam langkah Adams-Moulton, seperti untuk membuatnya eksplisit. Saya bisa memberi Anda lebih detail jika itu tidak jelas.

SimonSciComp

Jelas. Namun bukan itu yang dimaksud oleh Adams-Moulton. Anda harus menggunakan nama yang benar.

David Ketcheson

Jawaban:

Metode Adams-Moulton secara signifikan lebih stabil. Analogi yang digunakan ketika saya diajari perbedaannya sama dengan ekstrapolasi dan interpolasi. Interpolasi relatif aman secara numerik. Ekstrapolasi dapat meledak jika Anda memiliki asymptote atau fitur aneh lainnya.

Misalnya, memecahkan ode

$y'(t) = -y(t)$ dengan $y(0) = 1$

menggunakan metode urutan ke-3 Adams-Bashforth sebenarnya menjadi lebih tidak stabil karena timestep berkurang. Dengan menambahkan langkah korektor, Anda menghindari sebagian besar ketidakstabilan ini. Plot wilayah stabilitas untuk dua metode ditunjukkan di sini:

masukkan deskripsi gambar di sini

Plot diambil dari The Art of Scientific Computing oleh Gregory Baker dan Edward Overman. adalah nilai eigen dari ODE Anda, adalah catatan waktu. Perhatikan bahwa dapat menjadi kompleks, sehingga plotnya berada di dataran kompleks. Jika berada di dalam ruang stabil, ode akan bertemu. Jika di luar, akhirnya integrasi waktu akan menjadi tidak stabil. Perhatikan bahwa untuk stabilitas semua nilai eigen ODE Anda, atau sistem ODE harus berada di dalam wilayah stabil. $\lambda$ $h$ $\lambda$ $\lambda h$

Pelihat Godric
sumber

Terima kasih, Godric. Bisakah Anda mendefinisikan dan menjelaskan sumbu kedua plot? Saya menganggap adalah ukuran langkah. Saya juga tidak mengerti "garis padat dalam (b), yang merupakan sumbu imajiner, tidak terlihat dan wilayah tersebut adalah bidang setengah kiri."

λ

$\lambda$

h

$h$

SimonSciComp

@SimonSciComp Saya menambahkan beberapa penjelasan di bawah plot. Beri tahu saya jika ada hal lain yang tidak jelas.

Godric Seer

λ h

$\lambda h$

ℜ (λ h) < 0

$\Re(\lambda h)<0$

λ

$\lambda$