Status kuantum adalah vektor satuan ... sehubungan dengan norma yang mana?

15

Definisi paling umum dari keadaan kuantum yang saya temukan adalah (mengulangi definisi dari Wikipedia )

Keadaan kuantum diwakili oleh sinar dalam ruang Hilbert dimensi-terbatas atau tak-terbatas di atas bilangan kompleks.

Selain itu, kita tahu bahwa untuk memiliki representasi yang berguna kita perlu memastikan bahwa vektor yang mewakili keadaan kuantum adalah vektor satuan .

Tetapi dalam definisi di atas, mereka tidak tepat norma (atau produk skalar) yang terkait dengan ruang Hilbert dipertimbangkan. Pada pandangan pertama saya berpikir bahwa norma itu tidak benar-benar penting, tetapi saya menyadari kemarin bahwa norma di mana - mana dipilih untuk menjadi norma Euclidian (2-norma). Bahkan notasi bra-ket tampaknya dibuat khusus untuk norma euclidian.

Pertanyaan saya: Mengapa norma Euclidian digunakan di mana-mana? Mengapa tidak menggunakan norma lain? Apakah norma Euclidian memiliki sifat berguna yang dapat digunakan dalam mekanika kuantum yang tidak dimiliki orang lain?

quantum-state notation unitarity mathematics Awal
sumber

2

Sebenarnya saya hanya ingin menambahkan komentar tetapi saya tidak memiliki reputasi untuk itu: perhatikan bahwa, ketika Anda menulis dalam pertanyaan Anda - status kuantum adalah sinar dalam ruang Hilbert. Ini berarti bahwa mereka tidak dinormalisasi, melainkan bahwa semua vektor dalam ruang Hilbert yang menunjuk ke arah yang sama adalah setara. Lebih nyaman bekerja dengan keadaan normal tetapi fisika sebenarnya tersembunyi dalam tumpang tindih kondisi satu sama lain. Karena alasan inilah maka tidak ada norma dalam definisi suatu negara.

Omri Har-Shemesh

6

Aturan Born menyatakan bahwa yang merupakan probabilitas untuk menemukan sistem kuantum di negara setelah pengukuran. Kita membutuhkan jumlah (atau integral!) Dari semua menjadi 1: $|\psi(x)|^2 = P(x)$ $|x\rangle$ $x$

\begin{aligned} \sum_{x} P_{x} & = \sum_{x} | ψ_{x} |^{2} = 1, \\ \int P (x) d x & = \int | ψ (x) |^{2} d x = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$

Tak satu pun dari ini adalah norma yang valid karena mereka tidak homogen . Anda bisa membuatnya homogen hanya dengan melakukan root kuadrat:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} | ψ_{x} |^{2}} = 1, \\ \sqrt{\int | ψ (x) |^{2} d x} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$

dan Anda dapat mengenali ini sebagai norma Euclidean dan generalisasi norma Euclidean ke domain non-diskrit. Kita juga bisa menggunakan norma yang berbeda:

\begin{aligned} \sqrt{\sum_{x} ψ_{x} A ψ_{x}^{*}} = 1, \\ \sqrt{\int ψ (x) A ψ^{*} (x)} = 1, \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$

untuk beberapa matriks positif pasti / fungsi A.

Namun sebuah -norm dengan tidak akan berguna karena misalnya: $p$ $p>2$

\begin{aligned} \sqrt[5]{\sum_{x} | ψ_{x} |^{5}} \end{aligned}

$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$

tidak harus 1.

Dengan cara ini norma Euclidean istimewa karena 2 adalah kekuatan dalam aturan Born, yang merupakan salah satu dalil mekanika kuantum.

pengguna1271772
sumber

Jawaban ini terkait dengan komentar saya di @ DaftWullie . Jadi norma euclidian digunakan karena dalil pengukuran memberitahu kita bahwa hanya

-norm yang valid?

p

$p$

Nelimee

2

Ini adalah satu-satunya norma-p yang bermakna. Kami ingin jumlah probabilitas menjadi 1 (yang merupakan hukum matematika) dan probabilitas didefinisikan oleh kuadrat fungsi gelombang (yang merupakan dalil mekanika kuantum yang disebut aturan Born).

user1271772

@Nelimee: Terima kasih atas pesan Anda di Obrolan. Saya tidak dapat membalas karena saya dilarang mengobrol selama 2 hari lagi. Alasan untuk jawaban pertama adalah karena saya membaca pertanyaan Anda, "Mengapa norma Euclidian digunakan di mana-mana? Mengapa tidak menggunakan norma lain?" dan segera dianggap sebagai kasus di mana norma yang valid bukan norma Euclidean tetapi 2-norma yang berbeda, yang merupakan 2-norma pada set variabel yang tidak terpisah. Saya pikir ini sudah cukup untuk menjelaskan bahwa norma Euclidean bukan satu-satunya norma yang valid, dan mengapa norma Euclidean digunakan saat itu. Tetapi ketika saya perhatikan daftwullie mendapatkan upvote dan saya tidak, saya

user1271772

2

jadi jawaban Anda adalah "karena aturan Born"? Bukankah itu hanya memindahkan pertanyaan ke "mengapa aturan Born menggunakan kekuatan 2?"

DaftWullie

1

Sepertinya "apa yang datang lebih dulu, ayam atau telur?" kasus.

user1271772

8

Beberapa terminologi sepertinya sedikit campur aduk di sini. Keadaan kuantum diwakili (dalam ruang Hilbert dimensi terbatas) oleh vektor kompleks panjang 1, di mana panjang diukur oleh norma Euclidean. Mereka bukan kesatuan, karena kesatuan adalah klasifikasi matriks, bukan vektor.

Keadaan kuantum diubah / dikembangkan menurut beberapa matriks. Mengingat bahwa negara kuantum memiliki panjang 1, ternyata diperlukan dan cukup bahwa peta keadaan murni ke keadaan murni dijelaskan oleh matriks kesatuan. Ini adalah satu-satunya matriks yang mempertahankan norma (Euclidean).

$p$ $p\neq 2$

$p$ $p=2$ $p=1$ $p\rightarrow\infty$ $\pi/2$

Jika Anda ingin detail lebih lanjut, Anda mungkin ingin melihat di sini .

DaftWullie
sumber

Terima kasih untuk persiapan terminologi! Anda benar, saya menyalahgunakan persyaratan.

Nelimee

Namun pertanyaannya baik-baik saja selama Anda mengganti "kesatuan" dengan "unit vektor"

user1271772

Tetapi jawaban ini tidak menjawab mengapa kita menggunakan norma euclidian. Saya mengerti bahwa norma-norma lain tidak nyaman, tetapi kita tidak benar-benar memiliki kendali atas apa yang "nyaman" dalam hukum fisika dan apa yang tidak, kan?

Awal

@Nelimee Ini tidak nyaman. Itu banyak operasi tidak ada jika Anda tidak menggunakan 2-norma. Operasi seperti akar kuadrat tidak, yang bisa kita jalani, lakukan percobaan, dan amati. Sehingga tidak termasuk semuanya kecuali 2-norma

DaftWullie

1

seperti semua fisika! Semua teori adalah teori yang paling sesuai dengan data yang tersedia.

DaftWullie

5

$\mathbb{R}^n$ $L^p$ $p=2$

Federico Poloni
sumber

Saya telah meningkatkan jawaban Anda (yang merupakan jawaban pertama yang bagus untuk QCSE!), Tetapi apakah harus berupa 2-norma? Anda mengatakan bahwa 1-norma dan 3-norma tidak valid, tetapi bagaimana dengan norma dalam jawaban saya, yang merupakan kuadrat dari 2-norma?

user1271772

3

@ user1271772 Terima kasih! Jika saya mengerti dengan benar, fungsi yang Anda sarankan bahkan bukan norma vektor karena itu tidak homogen.

Federico Poloni

2

L^{2}

$L^2$

L^{p}

$L^p$

A

$A$

‖ x ‖_{A} := \sqrt{x^{*} A x}

$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

itu positif homogen dengan , mengapa harus dengan ?

k = 2

$k=2$

k = 1

$k=1$

user1271772

@ user1271772 adalah persyaratan dalam definisi. Salah satu aksioma norma vektor adalah 2. p (av) = | a | p (v) (benar-benar homogen atau benar-benar scalable) (periksa, untuk referensi cepat, bahwa halaman Wikipedia yang saya tautkan di atas). Tentu saja, itu hanya argumen tautologis "karena didefinisikan seperti itu", dan saya mengerti bahwa seorang fisikawan mungkin menginginkan alasan yang lebih fisik.

k = 1

$k=1$

Federico Poloni

4

Argumen yang elegan dapat diturunkan dengan menanyakan teori mana yang bisa kita bangun yang dijelaskan oleh vektor , di mana transformasi yang diizinkan adalah peta linear , probabilitasnya adalah diberikan oleh beberapa norma, dan probabilitas harus dipertahankan oleh peta tersebut. $\vec v = (v_1,\dots,v_N)$ $\vec v\to L\vec v$

Ternyata pada dasarnya hanya ada tiga opsi:

Teori deterministik. Maka kita tidak memerlukan vektor-vektor itu, karena kita selalu dalam satu keadaan tertentu, yaitu vektor-vektornya adalah dan sejenisnya, dan hanya permutasi. $(0,1,0,0,0)$ $L$
Teori probabilistik klasik. Di sini, kami menggunakan peta -norm dan stokastik. The adalah probabilitas. $1$ $v_i$
Mekanika kuantum. Di sini, kami menggunakan transformasi -norm dan kesatuan. The adalah amplitudo. $2$ $v_i$

Ini adalah satu-satunya kemungkinan. Untuk norma-norma lain tidak ada transformasi yang menarik.

Jika Anda menginginkan penjelasan yang lebih terperinci dan baik tentang hal ini, "Quantum Computing since Democritus" karya Scott Aaronson memiliki Kuliah tentang hal ini , juga makalah .

Norbert Schuch
sumber

2

Jawaban lain membahas mengapa dalam hal mana ruang untuk digunakan, tetapi tidak bobot. $p=2$ $L^p$

Anda dapat memasukkan matriks pasti positif Hermitian sehingga produk dalam adalah . Tapi itu tidak banyak menguntungkan Anda. Ini karena Anda mungkin juga mengubah variabel. Untuk memudahkan, pertimbangkan kasing ketika diagonal. dengan kasus diagonal yang akan menafsirkan sebagai probabilitas alih-alih . jadi mengapa tidak hanya mengubah variabel ke . Anda dapat menganggap ini sebagai fungsi pada ruang titik di mana setiap titik ditimbang oleh . $M_{ij}$ $\sum x_i^* M_{ij} y_j$ $M$ $M_{ii} \mid x_i \mid^2$ $\mid x_i \mid^2$ $M_{ii}>0$ $\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$ $L^2$ $n$ $M_{ii}$

Untuk kasus variabel 1 terus menerus, ya Anda bisa menggunakan juga. hanya mengulangi panjangnya. Itu masih ruang Hilbert yang sangat bagus. Tetapi masalahnya adalah bahwa terjemahan seharusnya menjadi simetri dan memecahnya. Jadi mungkin juga tidak menggunakan . Untuk beberapa tujuan, simetri itu tidak ada, jadi Anda memiliki . $L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$ $w(x)$ $x \to x+a$ $w(x)$ $w(x)$ $w(x) \neq 1$

Dalam beberapa kasus, berguna untuk tidak pindah ke bentuk standar. Ini mengacak-acak bagaimana Anda melakukan perhitungan. Misalnya, jika Anda melakukan beberapa angka, maka Anda dapat mengurangi kesalahan Anda dengan perombakan semacam ini untuk menghindari angka yang sangat kecil atau besar yang sulit bagi mesin Anda.

Yang sulit adalah memastikan Anda melacak kapan Anda mengubah variabel dan kapan tidak. Anda tidak ingin bingung antara mengubah ke produk dalam standar melakukan beberapa kesatuan dan mengubah variabel kembali vs mencoba melakukan itu dalam satu langkah. Anda cenderung menjatuhkan faktor dll karena kesalahan, jadi berhati-hatilah. $\sqrt{M_{ii}}$

Lagi pula
sumber

-1

Norma Euclidean pada ruang dimensi, seperti yang didefinisikan di sini , bukan satu-satunya norma yang digunakan untuk keadaan kuantum. $n$

Keadaan kuantum tidak harus didefinisikan pada ruang Hilbert n-dimensi, misalnya keadaan kuantum untuk osilator harmonik 1D adalah fungsi yang didefinisikan oleh: $\psi_i(x)$

\int ψ_{i} (x) ψ_{j}^{*} (x) d x .

$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$

Jika kita dapatkan: $i=j$

\int | ψ (x) |^{2} d x = \int P (x) d x = 1,

$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$

karena probabilitas total harus 1.
Jika , maka kita mendapatkan 0, yang berarti bahwa fungsinya ortogonal. $i\ne j$

Norma Euclidean, seperti yang didefinisikan dalam tautan yang saya berikan, lebih untuk keadaan kuantum pada variabel diskrit di mana adalah sejumlah angka yang dapat dihitung. Dalam kasus di atas, (yang merupakan jumlah nilai yang mungkin dapat) tidak terhitung, sehingga norma tidak sesuai dengan definisi yang diberikan untuk norma Euclidean pada kecepatan dimensi. $n$ $n$ $x$ $n$

Kita juga bisa menerapkan operator root kuadrat pada norma di atas, dan masih kita akan memiliki properti yang diperlukan bahwa , dan norma Euclidean kemudian dapat dianggap sebagai kasus khusus dari norma ini. , untuk kasus di mana hanya dapat dipilih dari sejumlah nilai yang dapat dihitung. Alasan mengapa kita menggunakan norma di atas dalam mekanika kuantum adalah karena ia menjamin bahwa fungsi probabilitas berintegrasi ke 1, yang merupakan hukum matematika berdasarkan definisi probabilitas. Jika Anda memiliki norma lain yang dapat menjamin bahwa semua hukum teori probabilitas dipenuhi, Anda akan dapat menggunakan norma itu juga. $\int P(x)dx=1$ $x$ $P(x)$

pengguna1271772
sumber

@Nelimee: Saya tidak bisa membalas pesan obrolan Anda "Saya tidak mendapatkan poin dari jawaban Anda dengan 0 suara" karena saya dilarang ngobrol selama 2 hari lagi, tetapi bagian mana dari jawaban ini yang tidak Anda dapatkan?

user1271772

@Nelimee? Saya sekarang di -1 jadi akan sangat menghargai mengetahui bagian mana yang tidak jelas

user1271772

Apa yang Anda tulis hanyalah norma euclidean dalam dimensi yang tak terbatas. Pernyataan Anda "Norma Euclidean pada ruang n-dimensi, seperti yang didefinisikan di sini, bukan satu-satunya norma yang digunakan untuk keadaan kuantum." menyesatkan sejauh salah.

Norbert Schuch

@Norbert. (1) ini adalah PERSEGIATAN dari norma euclidean. (2) ini tak terhingga tak terhingga. Itu tidak lagi n-dimensional bahkan untuk n yang tak terhingga jumlahnya.

user1271772

@ (1) Itu karena kamu lupa menaruh akar kuadrat. Juga, akar kuadrat dari adalah . (2) Itu tidak benar. , ruang fungsi yang dinormalisasi dengan norma itu, adalah ruang yang dapat dipisahkan, yaitu memiliki basis yang tak terhitung jumlahnya.

1

$1$

1

$1$

L^{2} (R^{n})

$L^2(\mathbb R^n)$

Norbert Schuch

Status kuantum adalah vektor satuan ... sehubungan dengan norma yang mana?

Jawaban: