Bagaimana cara menghadirkan beberapa status qubit secara kompak?

Karena akses ke perangkat kuantum yang mampu komputasi kuantum masih sangat terbatas, penting untuk mensimulasikan komputasi kuantum pada komputer klasik . Merepresentasikan keadaan qubit sebagai vektor membutuhkan elemen, yang sangat membatasi jumlah qubit yang dapat dipertimbangkan dalam simulasi semacam itu.$n$$2^n$

Bisakah seseorang menggunakan representasi ¹ yang lebih kompak, dalam arti ia menggunakan lebih sedikit memori dan / atau daya komputasi daripada representasi vektor sederhana? Bagaimana cara kerjanya?

Meskipun mudah diimplementasikan, jelas bahwa representasi vektor boros untuk negara-negara yang menunjukkan sparsity dan / atau redundansi dalam representasi vektor mereka. Untuk contoh konkret, menganggap negara 3-qubit . Ini memiliki 2 ^ 3 elemen tetapi mereka hanya mengasumsikan 3 nilai yang mungkin, dengan sebagian besar elemen adalah 0 . Tentu saja, untuk menjadi berguna dalam mensimulasikan perhitungan kuantum kita juga perlu mempertimbangkan bagaimana merepresentasikan gerbang dan aksi gerbang pada qubit, dan memasukkan sesuatu tentang ini akan disambut, tetapi saya akan senang mendengar tentang qubit juga.233$(1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3},0,0,0,-1/\sqrt{3}, 0,0)^T$$2^3$$3$$0$

_{1. Perhatikan bahwa saya bertanya tentang representasi, bukan perangkat lunak, perpustakaan, atau artikel yang dapat memanfaatkan / menyajikan representasi tersebut. Jika Anda menyajikan dan menjelaskan representasi, Anda dapat menyebutkan di mana sudah digunakan.}

Ada banyak cara yang mungkin untuk secara kompak mewakili suatu keadaan, kegunaannya sangat tergantung pada konteksnya.

Pertama-tama, penting untuk memperhatikan bahwa tidak mungkin untuk memiliki prosedur yang dapat memetakan negara mana pun menjadi representasi yang lebih efisien dari keadaan yang sama (untuk alasan yang sama mengapa jelas tidak mungkin untuk dengan setia memampatkan setiap bit 2-bit). string sebagai string 1-bit, dengan pemetaan yang tidak bergantung pada string).

Namun, segera setelah Anda mulai membuat beberapa asumsi, Anda dapat menemukan cara yang lebih efisien untuk mewakili negara dalam konteks tertentu. Ada banyak cara yang mungkin untuk melakukan ini, jadi saya hanya akan menyebutkan beberapa yang muncul di pikiran:

1. Representasi vektor standar dari keadaan ket dapat dianggap sebagai "representasi terkompresi", yang bekerja di bawah asumsi negara menjadi murni . Memang, Anda memerlukan derajat kebebasan nyata untuk mewakili keadaan n -qubit yang sewenang-wenang (umumnya campuran) , tetapi hanya 2 n + 1 - 2 untuk mewakili yang murni.$4^n-1$$n$$2^{n+1}-2$

2. Jika Anda menganggap keadaan menjadi hampir murni, yaitu, sehingga ρ jarang di beberapa representasi (ekuivalen, ρ adalah peringkat rendah), kemudian lagi negara dapat dicirikan efisien. Untuk sistem d- dimensi (jadi d = 2 n untuk sistem n -qubit), alih-alih menggunakan ~ d 2 parameter, Anda dapat memiliki representasi yang setia dengan hanya menggunakan O ( r d log 2 d ) , di mana r adalah sparsity negara (lihat 0909.3304$\rho$$\rho$$\rho$$d$$d=2^n$$n$$d^2$$\mathcal O(r d \log^2 d)$$r$ dan karya-karya yang datang setelah itu).

3. Jika Anda hanya tertarik dengan jumlah terbatas nilai ekspektasi, Anda dapat menemukan representasi terkompresi dari keadaan n -qubit ukuran O ( n log ( n ) log ( | S | ) ) . Perhatikan bahwa jumlah ini merupakan pengurangan eksponensial . Ini ditunjukkan (saya pikir) dalam quant-ph / 0402095 , tetapi pengantar yang diberikan pada 1801.05721 mungkin lebih mudah diakses oleh seorang fisikawan (serta menyajikan perbaikan dalam metode optimisasi). Lihat referensi dalam makalah terakhir ini untuk sejumlah hasil yang serupa.$|S|$$n$$\mathcal O(n\log(n)\log(|S|))$

4. Jika Anda tahu bahwa keterikatan negara terbatas (dalam arti yang dapat didefinisikan secara tepat), maka sekali lagi representasi efisien dapat ditemukan, dalam hal jaringan tensor (pengantar ditemukan misalnya pada 1708.00006 ). Baru-baru ini, juga ditunjukkan bahwa keadaan dasar dari beberapa warga Hamilton terkenal dapat diwakili menggunakan ansatze yang diinspirasi pembelajaran mesin (( 1606.02318 dan banyak karya berikut) .Hal ini juga baru-baru ini ditampilkan / diklaim setara dengan representasi Jaringan Tensor tertentu. ( 1710.04045 ) jadi saya tidak yakin apakah itu harus pergi ke kategori sendiri.

Perhatikan bahwa dalam semua hal di atas Anda dapat lebih efisien mewakili kondisi yang diberikan, tetapi untuk kemudian mensimulasikan evolusi sistem yang biasanya Anda perlukan, kembalilah ke representasi tidak efisien yang asli. Jika Anda ingin secara efisien merepresentasikan dinamika suatu negara melalui evolusi yang diberikan, Anda perlu asumsi tentang evolusi agar memungkinkan. Satu-satunya hasil yang terlintas dalam pikiran mengenai hal ini adalah teorema klasik (seperti yang ditetapkan, bukan dalam "non kuantum") Gottesman-Knill , yang memungkinkan untuk secara efisien mensimulasikan setiap rangkaian kuantum Clifford.

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Saya tidak yakin menggunakan sparsity adalah pendekatan yang baik di sini: bahkan gerbang qubit tunggal dapat dengan mudah mengubah keadaan jarang menjadi padat.

Tetapi Anda dapat menggunakan formalisme stabilizer jika Anda hanya menggunakan gerbang Clifford . Berikut adalah rekap singkat ( notasi ):
Single-qubit kelompok Pauli adalah , yaitu semua produk yang mungkin dari matriks Pauli (termasuk saya ). Kelompok Pauli beberapa qubit adalah tensor ruang produk G 1 , G n = G ⊗ n 1 . Stabilizer suatu negara | ψ ⟩ adalah subkelompok dari kelompok Pauli dari semua operator yang menstabilkan$G_1=\langle X, Y, Z\rangle$$\mathbb{I}$$G_1$$G_n=G_1^{\otimes n}$$\ket{\psi}$ , yang berarti s | ψ ⟩ = | ψ ⟩ . Penting untuk dicatat bahwa ini hanya berfungsi untuk kondisi tertentu (tetapi penting). Saya akan memberikan contoh di bawah ini. Pembatasan terhadap elemen-elemen kelompok Pauli tidak perlu tetapi umum. Stabilizer dihasilkan oleh operator s 1 , s 2 , ... s n . Stabilizer secara unik mendefinisikan status dan deskripsi yang efisien: alih-alihbilangan kompleks 2 n - 1 kita dapat menggunakan 4 n 2 bit ( G $\ket{\psi}$$s \ket{\psi} = \ket{\psi}$$s_1$$s_2$$s_n$$2^n-1$$4n^2$$G_1$memiliki 16 elemen). Ketika kita menerapkan gerbang , update generator stabilizer sesuai dengan s i → U † s i U . Gerbang yang memetakan operator Pauli ke operator Pauli disebut gerbang Clifford. Jadi ini adalah gerbang yang tidak akan "mengacaukan" deskripsi kita tentang negara.$U$$s_i \to U^\dagger s_i U$

Status grafik adalah contoh penting untuk formalisme stabilizer yang dijelaskan di atas. Pertimbangkan (tidak diarahkan) grafik matematika, yang terdiri dari simpul V dan tepi E ⊂ V × V . Setiap titik berhubungan dengan satu qubit. Mari kita tunjukkan grafik dengan G = ( V , E ) . Status grafik dihasilkan dari status | | + ⟩ ⊗ n , di mana | + ⟩ = $n$$V$$E\subset V\times V$$G=(V,E)$$\ket{+}^{\otimes n}$dengan menerapkan dikendalikan-fase gerbangCZuntuk setiap pasangan simpul yang terhubung. Stabilizer dihasilkan olehsv=Xv∏ w ∈ V ( v , w ) ∈ E Zw$\ket{+}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{0}+\ket{1})$$C_Z$

$$s_v= X_v \prod_{\substack{w\in V\\ (v,w)\in E}} Z_w.$$

Sebagai contoh, mulailah dengan status dua-qubit . Stabilizer adalah ⟨ X ⊗ saya , saya ⊗ X ⟩ . Sekarang menerapkan C Z gerbang untuk memperoleh ⟨ X ⊗ Z , Z ⊗ X ⟩ . ( Statusnya adalah | ϕ ′ ⟩ = $\ket{\phi}=\ket{+}\otimes \ket{+}$$\langle X\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes X \rangle$$C_Z$$\langle X \otimes Z, Z \otimes X \rangle$, yang merupakan satuan kesatuan lokal yang setara dengan status Bell)$\ket{\phi'}=\frac{1}{2}(1,1,1,-1)^T$

Formalisme stabilizer juga memainkan peran penting dalam koreksi kesalahan kuantum.

Bisakah seseorang menggunakan representasi yang lebih kompak, dalam arti ia menggunakan lebih sedikit memori dan / atau daya komputasi daripada representasi vektor sederhana? Bagaimana cara kerjanya?

Sumber: " Beberapa Qubit ":

"Sebuah qubit tunggal dapat dimodelkan secara sepele, mensimulasikan perhitungan kuantum lima puluh qubit akan bisa dibilang mendorong batas superkomputer yang ada. Meningkatkan ukuran perhitungan dengan hanya satu qubit tambahan menggandakan memori yang diperlukan untuk menyimpan keadaan dan secara kasar menggandakan waktu komputasi Penggandaan kekuatan komputasi yang cepat ini adalah mengapa komputer kuantum dengan jumlah qubit yang relatif kecil dapat jauh melampaui superkomputer paling kuat saat ini, besok dan seterusnya untuk beberapa tugas komputasi. "

Jadi, Anda tidak dapat menggunakan skema Ponzi atau merampok Peter untuk membayar Paul . Kompresi akan menghemat memori dengan biaya kompleksitas komputasi, atau representasi dalam ruang yang lebih fleksibel (lebih besar) akan mengurangi kompleksitas komputasi tetapi dengan biaya memori. Pada dasarnya yang dibutuhkan adalah perangkat keras yang lebih cakap atau algoritma yang lebih cerdas.

---

Berikut ini beberapa metode:

• Kompresi volume set status kuantum dari metrik Qubit:

The informasi Fisher metrik dapat digunakan untuk memetakan volume qubit menggunakan pendekatan geometri informasi seperti yang dibahas dalam " The Volume Two-qubit Amerika oleh Informasi Geometry ", " Analisis Fisher Informasi dan Cramer-Rao Bound untuk Nonlinear Estimasi Parameter Setelah Penginderaan Terkompresi ", dan" Penjelasan Intuitif Informasi Fisher dan Cramer-Rao kami terikat ".

• Analog dengan kompresi operan:

Menghitung dekomposisi optimal-kedalaman operasi logis: " Algoritma meet-in-the-middle untuk sintesis cepat dari sirkuit kuantum optimal-kedalaman " atau diskusi Quora ini pada " Pengkodean dimensi partikel ".

• Analog dengan kompresi memori:

Faktorisasi Qutrit menggunakan aritmatika ternary: " Memfaktorkan dengan Qutrits: Algoritma Shor pada Arsitektur Quantum Ternary dan Metaplectic " dan " Sintesis Sirkuit Ternary Quantum Menggunakan Operasi Proyeksi ".

• Analog dengan pengoptimalan tradisional

" Algoritma Quantum untuk Menemukan Eksklusif-Atau Ekspresi Minimum ".

• Lain:

Dimensi Krull atau aksiomatisasi dan penulisan ulang grafik: " Kelengkapan kalkulus ZX untuk Pure Qubit Clifford + T Quantum Mechanics ".

Dengan menggabungkan teknik-teknik itu, Anda harus bisa memasukkan kaki ke dalam sepatu. Itu akan memungkinkan persaingan sistem yang lebih besar pada prosesor konvensional, hanya saja jangan meminta saya untuk menjelaskan pekerjaan tingkat doktoral atau menulis kode. :)