Apa perbedaan antara superposisi dan keadaan campuran?

Pemahaman saya sejauh ini adalah: keadaan murni adalah keadaan dasar dari suatu sistem, dan keadaan campuran mewakili ketidakpastian tentang sistem, yaitu sistem berada di salah satu dari serangkaian keadaan dengan beberapa probabilitas (klasik). Namun, superposisi tampaknya juga merupakan campuran dari negara-negara bagian, jadi bagaimana mereka bisa masuk ke dalam gambar ini?

Sebagai contoh, pertimbangkan flip koin yang adil. Anda dapat mewakilinya sebagai "kepala" campuran $\left|0\right>$ dan “ekor” $\left|1\right>$ :

$$\rho_1 = \sum_j \frac{1}{2} \left|\psi_j\right> \left<\psi_j\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Namun, kita juga dapat menggunakan superposisi “kepala” dan “ekor”: keadaan spesifik dengan kerapatan$\psi = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left|0\right> + \left|1\right> \right)$

$$\rho_2 = \left|\psi\right> \left<\psi\right| = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Jika kita mengukur dalam basis komputasi, kita akan mendapatkan hasil yang sama. Apa perbedaan antara keadaan superposis dan campuran?

Tidak , superposisi dari dua keadaan yang berbeda adalah binatang yang sama sekali berbeda dengan campuran dari keadaan yang sama. Meskipun mungkin terlihat dari contoh Anda bahwa dan ρ 2 menghasilkan hasil pengukuran yang sama (dan memang demikian halnya), segera setelah Anda mengukur dalam basis yang berbeda mereka akan memberikan hasil yang berbeda secara terukur .$\rho_1$$\rho_2$

"Superposisi" seperti adalah kondisi murni . Ini berarti bahwa itu adalah keadaan yang sepenuhnya ditandai. Dengan kata lain, tidak ada jumlah informasi yang, ditambahkan ke deskripsinya, dapat membuatnya "kurang ditentukan". Perhatikan bahwa setiap keadaan murni dapat ditulis sebagai superposisi keadaan murni lainnya. Menulis keadaan tertentu sebagai superposisi keadaan lain secara harfiah sama dengan menulis vektor dalam beberapa basis: Anda selalu dapat mengubah basis dan menemukan representasi berbeda dari .| ψ ⟩ v $\newcommand{\up}{|\!\!\uparrow\rangle}\newcommand{\down}{|\!\!\downarrow\rangle}|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt2}(\up+\down)$$|\psi\rangle$$\boldsymbol v$$\boldsymbol v$

Ini sangat kontras dengan keadaan campuran seperti dalam pertanyaan Anda. Dalam kasus , sifat probabilistik dari hasil tergantung pada ketidaktahuan kita tentang negara itu sendiri . Ini berarti bahwa, pada prinsipnya, dimungkinkan untuk memperoleh beberapa informasi tambahan yang akan memberi tahu kami apakah benar-benar dalam keadaan atau dalam keadaan .ρ 1 ρ 2 $\rho_1$$\rho_1$$\rho_2$$\up$$\down$

Keadaan campuran tidak bisa, secara umum, ditulis sebagai keadaan murni. Ini harus jelas dari intuisi fisik di atas: keadaan campuran mewakili ketidaktahuan kita tentang keadaan fisik, sementara keadaan murni adalah keadaan yang sepenuhnya didefinisikan, yang kebetulan masih memberikan hasil probabilistik karena cara kerja mekanika kuantum.

Memang, ada kriteria sederhana untuk mengatakan apakah diberikan (umumnya campuran) negara dapat ditulis sebagaiuntuk beberapa keadaan (murni) : menghitung kemurniannya . Kemurnian suatu negara didefinisikan sebagai , dan itu adalah hasil standar bahwa kemurnian negara adalah jika dan hanya jika keadaan murni (dan kurang dari jika tidak).$\rho$$|\psi\rangle\langle\psi|$$|\psi\rangle$$\rho$$\operatorname{Tr} \,(\rho^2)$$1$ $1$

Jawaban singkatnya adalah bahwa ada lebih banyak informasi kuantum daripada "ketidakpastian". Ini karena ada lebih dari satu cara untuk mengukur keadaan; dan itu karena ada lebih dari satu dasar di mana, pada prinsipnya, Anda dapat menyimpan dan mengambil informasi. Superposisi memungkinkan Anda untuk mengekspresikan informasi dalam basis yang berbeda dari basis komputasi - tetapi campuran menggambarkan keberadaan elemen probabilistik, tidak peduli basis apa yang Anda gunakan untuk melihat keadaan.

Jawaban yang lebih panjang adalah sebagai berikut -

Pengukuran seperti yang Anda gambarkan itu adalah pengukuran khusus dalam dasar komputasi. Ini sering digambarkan hanya sebagai "pengukuran" demi singkatnya, dan sebagian besar masyarakat berpikir dalam hal ini menjadi cara utama untuk mengukur sesuatu. Tetapi dalam banyak sistem fisik, dimungkinkan untuk memilih dasar pengukuran .

Ruang vektor di atas memiliki lebih dari satu basis (bahkan lebih dari satu basis ortonormal), dan pada tingkat matematika tidak ada banyak yang membuat satu basis lebih spesial daripada yang lain, selain dari apa yang nyaman untuk dipikirkan oleh ahli matematika. Hal yang sama berlaku dalam mekanika kuantum: kecuali jika Anda menentukan beberapa dinamika tertentu, tidak ada dasar yang lebih istimewa daripada yang lain. Itu berarti dasar komputasi | 0 ⟩ = [ 1 0 ]$\mathbb C$ tidak fundamental berbeda secara fisik dari basis lain seperti | + ⟩ =

$$\lvert 0 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \lvert 1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$$ yang juga merupakan basis ortonormal. Itu berarti bahwa harus ada cara untuk "mengukur" keadaan| ψ⟩∈C2sedemikian rupa bahwa probabilitas dari hasil tergantung pada proyeksi ke negara-negara ini| +⟩Dan| -⟩. $$\lvert + \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \lvert - \rangle = \tfrac{1}{\sqrt 2}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},$$ $\lvert \psi \rangle \in \mathbb C^2$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$

$$\Pi_+ = \lvert + \rangle\!\langle + \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \Pi_- = \lvert - \rangle\!\langle - \rvert = \tfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$$ $\lvert \varphi_+ \rangle := \Pi_+ \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle := \Pi_- \lvert \psi \rangle$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\lvert \varphi_+ \rangle$$\lvert \varphi_- \rangle$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\Pi_+$$\Pi_-$

$\rho$$\rho_+ := \Pi_+ \rho \Pi_+$$\rho_- := \Pi_- \rho \Pi_-$$\lvert \varphi_\pm \rangle$$\rho_\pm$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$pengukuran; untuk mengubah normal, cukup skala operator yang diproyeksikan untuk memiliki jejak 1.

$\rho_2$$\lvert \pm \rangle$$\rho_2 = \rho_{2,+} := \Pi_+ \rho_2 \Pi_+$$\Pi_+$$\lvert + \rangle$$\rho_1$$\lvert + \rangle$$\lvert - \rangle$$\rho_1$$\rho_2$$\rho_2$$\rho_2$

Secara umum, negara campuran adalah negara yang nilai eigen terbesarnya kurang dari 1, artinya tidak ada dasar di mana Anda dapat mengukurnya untuk mendapatkan hasil yang pasti. Superposisi memungkinkan Anda untuk mengekspresikan informasi dalam basis yang berbeda dari basis komputasi; campuran mewakili tingkat keacakan tentang keadaan sistem yang Anda pertimbangkan, terlepas dari bagaimana Anda mengukur sistem itu.

Seiring dengan pos glS ':

Keadaan campuran akan terjadi jika Anda memiliki kaleng cat, tetapi Anda tidak yakin apakah itu biru atau kuning. Anda tahu itu salah satu dari keduanya, dan begitu Anda membuka tutupnya dan mengukurnya, Anda akan tahu, tetapi sampai Anda melakukannya, itu adalah salah satu dari dua keadaan murni itu. Jika Anda mengambilnya dari tumpukan kaleng di mana Anda tahu ada banyak kaleng cat biru sama kuning, Anda akan mengharapkan kesempatan yang sama untuk menjadi satu atau yang lain. 50% dari waktu itu akan menjadi 100% kuning dan 50% dari waktu itu akan menjadi 100% biru.

Superposisi lebih seperti jika Anda mengambil setengah kaleng biru dan setengah kaleng kuning dan menuangkannya bersama. Anda sekarang telah membangun keadaan murni baru yang dapat diekspresikan sebagai kombinasi dari keadaan murni lainnya. Jika Anda menguji 'kebiruannya', itu sekitar 50%. Jika Anda menguji 'kekuningan' itu sekitar 50%. Warnanya kuning dan biru pada saat bersamaan. 100% dari waktu itu adalah 50% biru dan 50% kuning.

Jika Anda mengukur jumlah biru dan kuning di satu tumpukan kaleng biru atau kuning dan kemudian di tumpukan hijau lainnya, Anda mungkin bingung melihat Anda memiliki biru dan kuning sebanyak di kedua tumpukan, tetapi perbedaannya adalah bahwa ' kebiruan 'dan' kekuningan 'berada dalam keadaan campuran di tumpukan kemudian tetapi berada di superposisi di yang terakhir.