Mengapa mekanisme "Phase Kickback" bekerja dalam algoritma estimasi fase Quantum?

Saya mungkin pernah membaca bab Transformasi kuantum Fourier dan penerapannya dari Nielsen dan Chuang (edisi ulang tahun ke 10) beberapa kali sebelumnya dan ini membuat hal ini dianggap biasa, tetapi hari ini, ketika saya melihatnya lagi, itu tidak sama sekali tidak tampak jelas bagiku!

Berikut diagram sirkuit untuk algoritma estimasi Fase:

Register pertama memiliki qubit diduga "register kontrol". Jika ada qubit dalam register pertama dalam status gerbang kesatuan yang sesuai dikendalikan akan diterapkan ke register kedua . Jika dalam keadaan maka tidak bisa diterapkan pada mendaftar kedua . Jika berada di superposisi dari dua negara dan $t$ $|1\rangle$ $|0\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$ aksi kesatuan yang sesuai pada register kedua dapat ditentukan oleh "linearitas". Perhatikan, bahwa semua gerbang hanya bertindak pada register kedua dan tidak ada pada register pertama. Register pertama seharusnya hanya kontrol .

Namun, mereka menunjukkan bahwa status terakhir dari register pertama adalah:

\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩)

$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$

Saya heran mengapa kami menganggap ada perubahan dalam status daftar qubit pertama, setelah aksi gerbang Hadamard. Status terakhir dari register pertama seharusnya

{(\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}^{\otimes t}

$\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt 2}\right)^{\otimes t}$

bukan? Saya mengatakan ini karena register pertama seharusnya hanya kontrol. Saya tidak mengerti bagaimana atau mengapa keadaan register pertama harus berubah ketika bertindak sebagai kontrol.

Saya awalnya berpikir bahwa mempertimbangkan faktor-faktor eksponensial untuk menjadi bagian dari status qubit register pertama hanya kenyamanan matematis, tetapi kemudian itu tidak masuk akal. Keadaan qubit atau sistem qubit seharusnya tidak bergantung pada apa yang secara matematis nyaman bagi kita!

Jadi, bisakah seseorang tolong jelaskan mengapa keadaan register qubit pertama berubah, bahkan ketika itu hanya bertindak sebagai "kontrol" untuk register kedua? Apakah hanya kenyamanan matematis atau ada sesuatu yang lebih dalam?

quantum-state quantum-fourier-transform phase-estimation phase-kickback Sanchayan Dutta
sumber

Bukan jawaban, tetapi: Apa artinya itu menjadi 'kenyamanan matematis', jika itu tidak mewakili perubahan aktual di negara bagian? Entah matematika secara akurat menjelaskan bagaimana keadaan kuantum berubah, atau tidak. Jika tidak, Anda memiliki masalah yang lebih besar dari contoh yang satu ini. Jika Anda mengira bahwa matematika secara akurat menggambarkan fisika, maka representasi matematis tidak hanya nyaman: keadaan "kontrol" kabel benar-benar berubah dalam subrutin ini. Tidak apa-apa untuk bingung mengapa, tetapi pertama-tama Anda harus menerima bahwa mereka memang berubah.

Niel de Beaudrap

Matematika persis seperti yang dijelaskan dalam jawaban ini: quantumcomputing.stackexchange.com/a/1791/1837 tetapi situasi itu lebih sederhana, dan mungkin lebih mudah dipahami

DaftWullie

@NieldeBeaudrap Baiklah, pertanyaan saya justru "mengapa" itu berubah

Sanchayan Dutta

@ DavidWullie Matematika tidak terlihat sulit. Mari kita mengambil contoh sederhana dari controlled-

gerbang. Jika register kontrol dalam keadaan

maka akan diterapkan untuk

untuk memberi

. Tetapi, mereka mempertimbangkan bahwa faktor eksponensial

menjadi faktor kontrol qubit dalam register pertama yaitu

U^{2^{0}}

$U^{2^0}$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

| u ⟩

$|u\rangle$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ) | u ⟩

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)|u\rangle$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ)

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)$

dan bukan dari register kedua. Pertanyaan saya adalah: mengapa begitu?

\exp (2 π i 2^{0} ϕ)

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)$

Sanchayan Dutta

cc @NieldeBeaudrap ^

Sanchayan Dutta

Jawaban:

$|u\rangle$ $U$ $|1\rangle|u\rangle$ $U$ $e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

(| 0 ⟩ + | 1 ⟩) | u ⟩ \mapsto | 0 ⟩ | u ⟩ + e^{i ϕ} | 1 ⟩ | u ⟩

$(|0\rangle+|1\rangle)|u\rangle\mapsto |0\rangle|u\rangle+e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

(| 0 ⟩ + e^{i ϕ} | 1 ⟩) | u ⟩

$(|0\rangle+e^{i\phi}|1\rangle)|u\rangle$ jadi itu muncul pada register pertama, meskipun itu semacam dibuat pada register kedua. (Tentu saja interpretasi itu tidak sepenuhnya benar karena itu dibuat oleh gerbang dua-qubit yang bekerja pada kedua qubit).

Langkah ini adalah jantung dari banyak algoritma kuantum.

$|\Psi\rangle=|0\rangle|u\rangle+|1\rangle(e^{i\phi}|u\rangle)$

{Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |_{A B}) = {Tr}_{B} (| 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes | u ⟩ ⟨ u | + | 1 ⟩ ⟨ 0 | \otimes e^{i ϕ} | u ⟩ ⟨ u | + | 0 ⟩ ⟨ 1 | \otimes | u ⟩ ⟨ u | e^{- i ϕ} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes e^{i ϕ} | u ⟩ ⟨ u | e^{- i ϕ})

$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=\text{Tr}_B(|0\rangle\langle 0|\otimes |u\rangle\langle u|+|1\rangle\langle 0|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|+|0\rangle\langle 1|\otimes |u\rangle\langle u|e^{-i\phi}+|1\rangle\langle 1|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|e^{-i\phi})$

{| u ⟩, | u^{⊥} ⟩}

$\{|u\rangle,|u^\perp\rangle\}$

⟨ u | u^{⊥} ⟩ = 0

$\langle u|u^\perp\rangle=0$

⟨ u | (e^{i ϕ} | u ⟩ = e^{i ϕ}

$\langle u|(e^{i\phi}|u\rangle=e^{i\phi}$

{Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |_{A B}) = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 | + e^{- i ϕ} | 0 ⟩ ⟨ 1 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=|0\rangle\langle 0|+e^{i\phi}|1\rangle\langle 1|+e^{-i\phi}|0\rangle\langle 1|+|1\rangle\langle 1|$

DaftWullie
sumber

| 0 ⟩ (| u ⟩) + | 1 ⟩ (e^{i ϕ} | u ⟩)

$|0\rangle(|u\rangle) + |1\rangle (e^{i\phi}|u\rangle)$

e^{i ϕ}

$e^{i\phi}$

Bagaimana Anda mendefinisikan "terjerat"? Menurut definisi apa pun, ini tidak terjerat. Coba ambil jejak parsial, misalnya. Selain itu, saya kira Anda umumnya tidak memiliki masalah dengan menghapus fase global dari seluruh ekspresi, dibandingkan dengan menahan fase itu pada komponen yang berbeda?

DaftWullie

A

$A$

(| 0 ⟩)_{A}

$(|0\rangle)_A$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(e^{i\theta }|0\rangle)_B$

(| 0 ⟩)_{A} \otimes (e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(|0\rangle)_A\otimes (e^{i\theta}|0\rangle)_B$

e^{i θ} (| 0 ⟩)_{A} \otimes (| 0 ⟩)_{B}

$e^{i\theta}(|0\rangle)_A\otimes (|0\rangle)_B$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{A}

$(e^{i\theta}|0\rangle)_A$

| 0 ⟩_{B}

$|0\rangle_B$

(| 0 ⟩)_{A}

$(|0\rangle)_A$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(e^{i\theta}|0\rangle)_B$

Saya kira saya punya masalah dengan menggeser "fase global" seperti itu. Saya tidak pernah memikirkannya sebelumnya.

Sanchayan Dutta

Tidak ada perbedaan fisik . Pikirkan seperti ini: percobaan apa yang akan Anda lakukan untuk membedakan keduanya? Jika ada perbedaan fisik, pasti ada cara untuk membedakannya.

DaftWullie

Komentar pertama

Fenomena 'kontrol' yang sama ini mengubah keadaan yang berubah dalam beberapa keadaan juga terjadi dengan gerbang BUKAN yang dikendalikan; sebenarnya, ini adalah seluruh dasar estimasi nilai eigen. Jadi tidak hanya itu mungkin, itu adalah fakta penting tentang perhitungan kuantum yang dimungkinkan. Bahkan memiliki nama: "tendangan fase", di mana kontrol qubit (atau lebih umum, register kontrol) menimbulkan fase relatif sebagai akibat dari bertindak melalui beberapa operasi pada beberapa target register. $\def\ket#1{\lvert#1\rangle}$

Alasan mengapa ini terjadi

Kenapa harus begitu? Pada dasarnya itu datang ke fakta bahwa basis standar sebenarnya tidak sepenting yang kadang-kadang kita gambarkan sebagai.

Versi pendek. Hanya status dasar standar pada qubit kontrol yang tidak terpengaruh. Jika qubit kontrol berada dalam kondisi yang bukan status dasar standar, pada prinsipnya dapat diubah.

Versi yang lebih panjang -

Pertimbangkan bola Bloch. Ini, pada akhirnya, bola - simetris sempurna, dengan tidak ada satu titik yang lebih istimewa dari yang lain, dan tidak ada satu sumbu lebih istimewa dari yang lain. Secara khusus, basis standar tidak terlalu istimewa.

| 00 ⟩ \to [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], | 01 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], | 10 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], | 11 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

$\ket{00} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$

C N O T \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] .

$\mathrm{CNOT} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}\,.$

$\{0,1\}$

\begin{aligned} | + + ⟩ \to & [1 0 0 0]^{†}, \\ | + - ⟩ \to & [0 1 0 0]^{†}, \\ | - + ⟩ \to & [0 0 1 0]^{†}, \\ | - - ⟩ \to & [0 0 0 1]^{†} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \ket{++} \to{}& [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{+-} \to{}& [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{-+} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 1 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{--} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 1 \,]^\dagger \,. \end{aligned}$

| 00 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], | 01 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}], | 10 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}], | 11 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] .

$\ket{00} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,.$

Seorang pembaca yang tajam bermata mungkin memperhatikan bahwa vektor yang saya tulis di sebelah kanan tepat di atas adalah kolom dari matriks representasi biasa . Ada alasan bagus untuk hal ini: perubahan yang terjadi pada representasi ini adalah perubahan kerangka referensi untuk menggambarkan keadaan dari dua qubit. Untuk menjelaskan , , dan sebagainya, kami telah mengubah kerangka referensi kami untuk setiap qubit dengan rotasi yang sama dengan representasi matriks biasa dari operator Hadamard - karena operator yang sama menukar dan dapat diamati, dengan konjugasi. $H \otimes H$ $\ket{++} = [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$ $\ket{+-} = [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$ $X$ $Z$

Kerangka referensi yang sama ini akan berlaku untuk bagaimana kami mewakili operasi CNOT, jadi dalam representasi bergeser ini, kami akan 0 \ end {bmatrix}} \ end {aligned} yang - mengingat kolom sekarang mewakili eigenstates - berarti bahwa CNOT melakukan transformasi

\begin{aligned} C N O T \to \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm{CNOT} \to \tfrac{1}{4}{}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} }\, = \,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}} \end{aligned}$

X

$X$

\begin{aligned} C N O T | + + ⟩ & = | + + ⟩, \\ C N O T | + - ⟩ & = | - - ⟩, \\ C N O T | - + ⟩ & = | - + ⟩, \\ C N O T | - - ⟩ & = | + - ⟩ . \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm{CNOT}\,\ket{++} &= \ket{++} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{+-} &= \ket{--}, \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{-+} &= \ket{-+} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{--} &= \ket{+-} . \end{aligned}$ Perhatikan di sini bahwa hanya qubit 'kontrol' pertama yang statusnya berubah; target dibiarkan tidak berubah.

Sekarang, saya bisa menunjukkan fakta yang sama jauh lebih cepat tanpa semua pembicaraan tentang perubahan dalam kerangka referensi. Dalam kursus pengantar dalam perhitungan kuantum dalam ilmu komputer, fenomena serupa mungkin dijelaskan tanpa pernah menyebutkan kata-kata 'kerangka acuan'. Tapi saya ingin memberi Anda lebih dari sekadar perhitungan. Saya ingin menarik perhatian pada fakta bahwa CNOT pada prinsipnya bukan hanya sebuah matriks; bahwa basis standar bukanlah basis khusus; dan bahwa ketika Anda menghapus hal-hal ini, menjadi jelas bahwa operasi yang direalisasikan oleh CNOT jelas memiliki potensi untuk mempengaruhi keadaan kontrol qubit, bahkan jika CNOT adalah satu-satunya hal yang Anda lakukan untuk qubit Anda.

Gagasan bahwa ada 'kontrol' qubit adalah yang berpusat pada basis standar, dan menanamkan prasangka tentang keadaan qubit yang mengundang kita untuk menganggap operasi sebagai satu sisi. Tetapi sebagai fisikawan, Anda harus sangat curiga terhadap operasi sepihak. Untuk setiap tindakan ada reaksi yang sama dan berlawanan ; dan di sini, satu sisi keberpihakan CNOT pada status berbasis standar ditolak oleh fakta bahwa, untuk kondisi eigenbasis X, itu adalah 'target' yang secara sepihak menentukan kemungkinan perubahan keadaan 'kontrol'.

Anda bertanya-tanya apakah ada sesuatu yang dimainkan yang hanya kenyamanan matematis, yang melibatkan pilihan notasi. Sebenarnya, ada: cara di mana kita menulis negara kita dengan penekanan pada basis standar, yang dapat mengarahkan Anda untuk mengembangkan intuisi non-matematis dari operasi hanya dalam hal dasar standar. Tetapi ubah representasi, dan intuisi non-matematis itu hilang.

Hal yang sama yang telah saya sketsa untuk efek CNOT pada kondisi basis-eigen X, juga terjadi dalam estimasi fase, hanya dengan transformasi yang berbeda dari CNOT. 'Fase' yang disimpan dalam qubit 'target' ditendang ke atas ke qubit 'kontrol', karena target berada dalam status eigen dari operasi yang dikendalikan secara koheren oleh qubit pertama. Di sisi ilmu komputer dari komputasi kuantum, itu adalah salah satu fenomena paling terkenal di lapangan. Ini memaksa kita untuk berhadapan dengan fakta bahwa basis standar hanya istimewa karena kita memilih untuk menggambarkan data kita - tetapi tidak dalam cara fisika itu sendiri berperilaku.

Niel de Beaudrap
sumber

-1

Pertanyaan yang bagus
Saya pernah bertanya ini juga, tetapi itu bukan hanya masalah kenyamanan matematis.
Kontrol-U adalah gerbang "yang melibatkan".
Begitu ada keterjeratan, Anda tidak dapat memisahkan negara menjadi "register pertama" dan "register kedua".
Pikirkan register-register ini secara terpisah di awal, atau ketika tidak ada keterjeratan. Setelah terjadi keterjeratan, taruhan terbaik Anda adalah mengerjakan matematika (perkalian matriks) secara menyeluruh, dan Anda memang akan mendapatkan status yang diberikan oleh Nielsen dan Chuang.

sumber

Mencoba menjawab pertanyaan tetapi perlu menunggu sampai saya memiliki 15 reputasi.

\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩)

$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$

| u ⟩

$|u\rangle$

@Biru Aku tidak menuliskannya sebagai jawaban penuh karena aku sendiri merasa kesulitan untuk menginternalisasi konsep itu dalam pikiranku, lagi pula ini disebabkan oleh fenomena "Fase Kick-Back", dan itu sebenarnya juga disebabkan oleh fakta bahwa kontrol dan target agak terjerat. Coba dan baca bagian 2.2 dari tesis PhD Mosca, ini adalah penjelasan terbaik yang saya temukan sejauh ini.

FSic

@ F.Siciliano Oke, terima kasih. Saya akan membacanya

Sanchayan Dutta