Penurunan estimasi frekuensi alami jembatan dalam Eurocodes

Eurocodes memberikan persamaan berikut untuk memperkirakan "jembatan yang hanya didukung yang tunduk pada tekukan saja" *:

$$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$$

Dimana

• $n_0$ adalah frekuensi alami di hertz
• $\delta_0$ adalah defleksi pada rentang tengah di bawah tindakan permanen dalam mm

Persamaan ini tampaknya diambil dari udara tipis, dan tidak ada penjelasan dari mana konstanta 17,75 berasal. Sebagai seorang insinyur saya enggan menggunakan formula yang tidak saya mengerti, tetapi lebih dari itu akan sangat membantu untuk mempelajari dasar-dasar di baliknya sehingga saya dapat melihat apakah itu dapat diubah untuk bekerja dengan kondisi dukungan lainnya.

Adakah yang bisa memberikan derivasi / asal fundamental untuk hubungan ini?

* Referensi lengkapnya adalah: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Catatan 8] (Persamaan 6.3), jika itu membantu.

Jika kita menyederhanakan seluruh jembatan menjadi balok tipis 2D dengan ukuran penampang konstan, tidak ada redaman internal dan hanya mengalami defleksi vertikal kecil, maka frekuensi alami ditentukan oleh gerakan harmonik sederhana:

$$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$$

Di mana adalah frekuensi alami, adalah rasio antara gaya restoratif dan defleksi ('kekakuan pegas' ekivalen) dan adalah massa per satuan panjang balok. k $n_0$$k$$m$

Dalam sebuah balok gaya restoratif adalah geser internal yang disebabkan oleh bentuk yang dibelokkan. Karena gaya yang ditunjukkan oleh balok sebanding dengan laju perubahan geser, yang terkait dengan kekakuan ( ) dan laju perubahan momen dapat ditunjukkan (catatan: defleksi sebanding dengan panjang balok ) bahwa:$EI$

$$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$$

Di mana adalah Modulus Young dari bahan balok, adalah Momen Kedua Inersia dari bagian balok, adalah panjang balok dan adalah konstanta yang ditentukan oleh kondisi dukungan dan jumlah mode dari respons.I L $E$$I$$L$$\alpha$

Semua literatur yang saya lihat mengungkapkan ini dengan cara yang lebih nyaman untuk persamaan frekuensi:

$$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$$

Mengganti kembali,

$$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$$

Menghitung nilai cukup terlibat, dan ada pendekatan yang tepat untuk solusi sederhana, dan perkiraan metode termasuk metode energi bebas dan Raleigh Ritz. Beberapa penyimpangan untuk berkas yang hanya didukung dapat ditemukan di sini .$K$

Perlu dicatat bahwa persamaan ini sudah cukup, tetapi karena membutuhkan tabel untuk dan perhitungan nilai yang mewakili jembatan sebagai balok homogen, penulis Eurocode tampaknya telah memutuskan akan lebih baik mengintegrasikan kembali asumsi bahwa adalah konstan di sepanjang balok.E I $K$$EI$$k$

Untuk melakukan ini mereka telah menggunakan hubungan berikut:

$$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$$

Di mana adalah defleksi maksimum, adalah konstanta yang ditentukan oleh kondisi dukungan, adalah beban terdistribusi seragam yang konstan melintasi panjang balok. C $\delta_0$$C$$w$

Di bawah berat sendiri , di mana adalah akselerasi karena gravitasi (9810 mm / s ² ; karena defleksi dalam persamaan ini diberikan dalam mm ).$w = gm$$g$

Oleh karena itu (diatur ulang :)

$$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

Dan sebagainya:

$$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

Nilai umum untuk dan dapat ditemukan dalam tabel struktural- misalnya di sini , dan di sini , masing-masing.$K$$C$

Untuk berkas yang hanya didukung:

$$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$$ $$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$$ $$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$$

Inilah jawaban yang mungkin.

Saya menemukan dokumen ini (tidak yakin sumber pastinya), yang berisi derivasi terkait:

Dalam masalah gerak harmonik sederhana, mana adalah kekakuan elastis dan adalah massa yang mengalami getaran. k

$$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $k$$m$

Fδn0=

$$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$$ mana adalah kekuatan dan adalah defleksi. Maka, Tapi defleksi dalam contoh Anda adalah dalam milimeter, sementara itu dalam meter di sini, jadi saya mendapatkan sekitar Jika , kami mendapatkan persamaan Anda. Tapi saya tidak yakin dari mana nilai ini berasal. Bisa jadi diperlukan unit switch lain, atau bisa jadi konstanta ini hanya untuk sebagian kecil kasus, di mana akselerasi berada di sepanjang garis tersebut.$F$$\delta$ n0=5.03 $$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ a= $$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $a=12.4382$

Ada beberapa informasi lebih lanjut tentang ini dalam buku Ladislav Fryba "Dynamics of Railway Bridges" (1996). Jika Anda membaca bab 4, Anda akan melihat rumus 4.53 di halaman 92:

$$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$$

Dengan menjadi frekuensi alami pertama di Hertz dan defleksi tengah tengah dalam mm. Inilah rumus yang Anda tanyakan.v s $f_1$$v_{st}$

Persamaan ini mengikuti dari rumus untuk defleksi tengah-tengah dari sebuah balok yang didukung sederhana yang dimuat oleh beban yang didistribusikan secara seragam μg

$$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$$

yang diganti dalam

$$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$$

Ini menghasilkan

$$\lambda_1 = \pi$$

Mengganti persamaan-persamaan tersebut menjadi satu sama lain menggunakan g = 9,81 m / s ^ 2 memberi

$$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$$

Evaluasi numerik dari persamaan ini menghasilkan persamaan yang diinginkan.

Dinamika untuk insinyur seperti saya, yang umumnya berkaitan dengan statika, dapat dipenuhi dengan kesalahan yang mudah dibuat, dan kesalahpahaman. Formula ini sangat berguna untuk balok yang hanya didukung karena dapat dihubungkan dengan cepat ke beban berat mandiri yang diterapkan dan proporsi pemuatan langsung (umumnya 10%) tanpa harus mengalami komplikasi.

Cantilevers juga dapat menggunakan konstanta yang sama (19,8 dengan udl, 15,8 dengan beban titik akhir). Itu semua rusak dengan balok dan bingkai terus menerus.

Saya membuat pemeriksaan frekuensi alami dengan semua desain balok untuk melacaknya. Untuk struktur kayu misalnya 8Hz adalah target dan untuk lantai beton / rangka baja 4-6Hz - sebagai lintasan pertama.

Ada juga metode kasar dan siap untuk menilai respons dinamis sekitar. Saya harus mengatakan bahwa dinamika masih luput dan membingungkan saya dan akan selalu demikian! Jadi saya tetap sesederhana mungkin.