Asumsi log-normalitas dalam penetapan harga aset berbasis konsumsi

Pertimbangkan masalah maksimisasi konsumen representatif waktu yang sangat mendasar dengan utilitas CRRA. Ada aset berisiko dengan waktu $t$ harga $p_t$ yang membayar waktu $t+1$ dividen $d_{t+1}$ , dan aset tanpa risiko dengan harga $p_t^f$ yang membayar hasil konstan 1 di $t+1$ . Kami mengasumsikan bahwa dividen adalah urutan variabel acak yang mengikuti proses Markov. Asumsikan lebih lanjut bahwa konsumen tidak memiliki aliran pendapatan lain (yaitu $y_t = 0 \ \forall t$ ). Pada waktu t konsumen menginvestasikan jumlah $\pi_t$ dalam aset dan jumlah berisiko $\pi_t^0$ dalam aset tanpa risiko. Oleh karena itu, masalah maksimalisasi dapat dinyatakan sebagai

\begin{aligned} max_{{c_{t}, π}_{0}^{\infty}} E_{0} \sum_{t = 0}^{\infty} β^{t} \frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} \\ s . t & c_{t} + π_{t} p_{t} + π_{t}^{0} p_{t}^{0} = (d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} \\ c_{t} \geq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} & \underset{\{ c_t, \pi \}_0^\infty}{\text{max}} \ \ E_0 \sum_{t=0}^\infty \ \beta^t \ \frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} \\ \\ \ s.t \ \ \ \ & c_t + \pi_t p_t + \pi_t^0 p_t^0 = (d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0 \\ & c_t \geq 0 \end{align*}$

Katakanlah kita ingin menemukan tingkat tanpa risiko keseimbangan dan premi ekuitas yang diharapkan. Untuk menutup model, sering diasumsikan diasumsikan (lihat misalnya buku Claus Munk Teori Harga Aset Keuangan bab 8.3) bahwa pertumbuhan konsumsi log dan pengembalian bruto risiko log secara normal didistribusikan bersama. Yaitu

\begin{aligned} l n (\frac{c_{t + 1}}{c_{t}}) \equiv {\bar{g}}_{t + 1} \sim N (μ_{g}, σ_{g}^{2}) \\ l n R_{t + 1} \equiv {\bar{r}}_{t + 1} \sim N (μ_{r}, σ_{r}^{2}), \end{aligned}

$\begin{align*} & ln \ \Big(\dfrac{c_{t+1}}{c_t} \Big) \equiv \bar{g}_{t+1} \sim N(\mu_g, \sigma_g^2) \\ & ln R_{t+1} \equiv \bar{r}_{t+1} \sim N(\mu_r, \sigma_r^2) \ , \\ \end{align*}$

di mana pengembalian kotor didefinisikan sebagai

R_{t + 1} \equiv \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} .

$R_{t+1} \equiv \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \ .$

Apa yang saya tidak sepenuhnya mengerti adalah dari mana asumsi distribusi normal-normal "berasal". Saya tahu bahwa karena ini adalah agen ekonomi perwakilan, konsumsi agen harus sama dengan dividen agregat dalam ekonomi. Tapi karena kita berasumsi bahwa tidak ada pendapatan, $y_t = 0 \ \forall t$ , satu-satunya proses dividen eksogen dalam perekonomian adalah $d_t$ dan karena itu harus memiliki distribusi yang sama dengan pertumbuhan konsumsi. Namun, kesan saya adalah ketika kita mengatakan bahwa tingkat risiko memiliki distribusi log-normal, ini sebenarnya berarti proses dividen, karena itu adalah 'bagian acak' dalam definisi pengembalian (harga $p_{t+1}$ tidak eksogen tetapi ditentukan di dalam model). Bagi saya, tampaknya sekarang kita telah membuat dua asumsi berbeda tentang proses endowmen yang sama $d_t$ . Dari mana datangnya asumsi konsumsi atau apa artinya? Bagaimana situasi akan berubah jika konsumen memiliki aliran pendapatan $y_t > 0$ ?

Jawaban:

Lagrangian dua periode yang khas adalah

Λ = β^{t} \cdot (\frac{c_{t}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t} \cdot [(d_{t} + p_{t}) π_{t - 1} + π_{t - 1}^{0} - c_{t} - π_{t} p_{t} - π_{t}^{0} p_{t}^{0}]) + β^{t + 1} \cdot (\frac{c_{t + 1}^{1 - γ} - 1}{1 - γ} + λ_{t + 1} \cdot [(d_{t + 1} + p_{t + 1}) π_{t} + π_{t}^{0} - c_{t + 1} - π_{t + 1} p_{t + 1} - π_{t + 1}^{0} p_{t + 1}^{0}])

$\Lambda = \beta^t\cdot \Big(\frac{c_t^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_t\cdot \big[(d_t+p_t) \pi_{t-1} + \pi_{t-1}^0- c_t - \pi_t p_t - \pi_t^0 p_t^0\big]\Big) \\ + \beta^{t+1}\cdot \Big(\frac{c_{t+1}^{1-\gamma} -1}{1-\gamma} + \lambda_{t+1}\cdot \big[(d_{t+1}+p_{t+1}) \pi_{t} + \pi_{t}^0- c_{t+1} - \pi_{t+1} p_{t+1} - \pi_{t+1}^0 p_{t+1}^0\big]\Big)$

Kondisi pesanan pertama sehubungan dengan $c_t, \pi_t$ adalah

\begin{matrix} (1) & c_{t}^{- γ} = λ_{t} ⟹ . . . γ \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} \end{matrix}

$c_t^{-\gamma} = \lambda_t \implies ... \gamma\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} \tag{1}$

\begin{matrix} (2) & - β^{t} λ_{t} p_{t} + β^{t + 1} λ_{t + 1} (d_{t + 1} + p_{t + 1}) = 0 ⟹ \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = β \frac{p_{t + 1} + d_{t + 1}}{p_{t}} \end{matrix}

$-\beta^t\lambda_tp_t + \beta^{t+1}\lambda_{t+1}(d_{t+1}+p_{t+1})=0 \implies \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \beta \frac{p_{t+1} + d_{t+1}}{p_t} \tag{2}$

dan dengan demikian, menggunakan juga definisi pengembalian kotor,

\begin{matrix} (3) & \ln \frac{λ_{t}}{λ_{t + 1}} = \ln β + \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {\lambda_{t}}{\lambda_{t+1}} = \ln \beta + \ln R_{t+1} \tag{3}$

Menggabungkan $(1)$ dan $(3)$ kita mendapatkan

\begin{matrix} (4) & \ln \frac{c_{t + 1}}{c_{t}} = \frac{1}{γ} \ln β + \frac{1}{γ} \ln R_{t + 1} \end{matrix}

$\ln \frac {c_{t+1}}{c_t} = \frac 1 {\gamma}\ln \beta + \frac 1 {\gamma}\ln R_{t+1} \tag{4}$

Jadi kita melihat bahwa pada jalur optimal, pertumbuhan konsumsi adalah fungsi affine langsung dari pengembalian risiko log. Ini antara lain menyiratkan bahwa koefisien korelasinya sama dengan persatuan.

Distribusi normal ditutup di bawah transformasi affine (sebagai alternatif, di bawah penskalaan dan pergeseran), jadi jika kita mengasumsikan bahwa pengembalian risiko log terdistribusi normal, maka pertumbuhan konsumsi juga terdistribusi normal (dengan rata-rata dan varian yang berbeda tentu saja).

Perhatikan bahwa meskipun secara umum, asumsi normalitas gabungan adalah tambahan yang dibuat ketika dua variabel acak normal tidak independen, di sini, fakta bahwa satu adalah fungsi affine dari yang lain menjamin normalitas bersama. Dengan kondisi Cramer untuk normalitas bivariat, itu harus menjadi kasus bahwa semua kombinasi linear dari dua variabel acak normal memiliki distribusi normal univariat. Dalam kasus kami, kami memiliki (notasi generik) yang dapat dipilih secara acak $Y$ dan variabel acak $X = a+bY$ . Mempertimbangkan

δ_{1} X + δ_{2} Y = δ_{1} (a + b Y) + δ_{2} Y = δ_{1} a + (δ_{1} b + δ_{2}) Y

$\delta_1X + \delta_2 Y = \delta_1(a+bY) + \delta_2 Y = \delta_1a + (\delta_1b+\delta_2)Y$

Jadi untuk apa pun $(\delta_1, \delta_2)$ (kecuali vektor nol yang tidak termasuk apriori), $\delta_1X + \delta_2 Y$ mengikuti distribusi normal jika $Y$ tidak. Jadi cukup untuk mengasumsikan bahwa pengembalian risiko log mengikuti distribusi normal untuk mendapatkan normalitas bersama juga.

Alecos Papadopoulos
sumber

Ini adalah jawaban lama, tetapi sebagaimana dinyatakan jawaban ini salah. Anda harus berhati-hati ketika menggunakan pengganda Lagrange di hadapan elemen stokastik. Jika Anda melakukan perhitungan dengan benar, Anda hanya berakhir dengan persamaan penetapan harga aset standar

E (m R) = 1

$\mathbb E(mR) = 1$ - dalam perhitungan Anda, Anda kehilangan harapan karena Anda tidak berhati-hati dengan optimasi Anda. (Cara lain untuk mengatakan ini adalah bahwa masalah optimasi seharusnya ada

s + 1

$s+1$ kendala bukan

2

$2$ dimana

s

$s$ adalah jumlah kemungkinan kondisi alam dalam periode

t + 1

$t+1$ .)

Starfall

@Starfall Terima kasih atas masukannya. Lama atau tidak, konten yang salah harus diperbaiki. Saya akan memeriksa jawabannya lagi, dan melihat apa yang bisa saya lakukan. Pada pandangan pertama, saya pikir maksud Anda adalah kovarians antara

t + 1

$t+1$ pengganda dan

p_{t + 1}, d_{t + 1}

$p_{t+1}, d_{t+1}$ ketentuan telah diabaikan.

Alecos Papadopoulos

Bukan hanya kovarians yang diabaikan - jika itu satu-satunya masalah, Anda akan berakhir dengan itu

E (m) E (R) = 1

$\mathbb E(m) \mathbb E(R) = 1$ , yang hanya mengaitkan nilai yang diharapkan dari faktor diskon dengan pengembalian yang diharapkan, sementara jawaban Anda berakhir dengan

m R = 1

$mR = 1$ , hubungan ex post antara faktor diskon dan pengembalian yang berlaku di setiap keadaan alami. Masalahnya adalah Anda tidak dapat menggunakan pengganda Lagrange dengan variabel stokastik tanpa secara eksplisit tentang berbagai keadaan alam dalam masalah tersebut.

Starfall

Dalam hal terminologi tidak jelas,

R = (p_{t + 1} + d_{t + 1}) / p_{t}

$R = (p_{t+1} + d_{t+1})/p_t$ ,

m = β (c_{t + 1} / c_{t})^{- γ}

$m = \beta (c_{t+1} / c_t)^{-\gamma}$ dalam masalah ini.

Starfall

@Starfall hmm ... masalah di sini adalah distribusi benar-benar diikuti, bukan solusi ex ante ... Saya akan memikirkannya dan menguraikan nanti.

Alecos Papadopoulos

Baru-baru ini saya menghasilkan makalah yang menurunkan distribusi pengembalian untuk semua kelas aset dan liabilitas. Pengembalian log-normal hanya muncul dalam dua kasus. Yang pertama adalah dengan obligasi diskon periode tunggal, yang kedua dengan merger tunai-untuk-saham. Itu berasal dari asumsi, saya percaya pada awalnya oleh Boness untuk menghilangkan masalah di Markowitz tentang harga yang sangat negatif. Sementara itu diturunkan secara logis, ia memiliki asumsi kritis yang membuatnya pada umumnya tidak benar.

Sebagian besar model keuangan mengasumsikan bahwa parameter diketahui dengan probabilitas satu. Anda tidak perlu memperkirakan $\mu$ dengan $\bar{x}$ karena dianggap sudah dikenal. Di permukaan, ini bukan masalah karena ini adalah metodologi umum metode berbasis hipotesis nol. Anda menyatakan nol adalah benar dan karenanya parameter diketahui dan tes dibuat terhadap nol ini.

Kesulitan terjadi ketika parameter tidak diketahui. Ternyata buktinya runtuh tanpa asumsi itu, secara umum. Hal yang sama berlaku untuk Black-Scholes. Saya mempresentasikan makalah di konferensi SWFA musim semi ini di mana saya berpendapat bahwa jika asumsi formula Black-Scholes benar, maka tidak ada penaksir yang menyatu dengan parameter populasi. Semua orang hanya mengasumsikan rumus di bawah pengetahuan sempurna sama dengan penduga parameter. Tidak ada yang benar-benar memeriksa propertinya. Dalam makalah awal mereka, Black and Scholes menguji secara empiris formula mereka dan mereka melaporkan bahwa itu tidak berhasil. Setelah Anda menjatuhkan asumsi bahwa parameter diketahui, matematika keluar secara berbeda. Cukup berbeda sehingga tidak bisa memikirkannya dengan cara yang sama.

Mari kita pertimbangkan kasus keamanan ekuitas yang diperdagangkan NYSE. Itu diperdagangkan dalam lelang ganda sehingga kutukan pemenang tidak diperoleh. Karena itu, perilaku rasional adalah membuat batas pesanan yang harganya sama dengan $\mathbb{E}(p_t),\forall{t}$ . Ada banyak pembeli dan penjual sehingga buku batas harus normal secara statis, atau setidaknya akan menjadi begitu karena jumlah pembeli dan penjual pergi hingga tak terbatas. Begitu $p_t$ normal tentang statis $p_t^*$ , harga keseimbangan.

Tentu saja, kami telah mengabaikan distribusi $(q_t,q_{t+1})$ . Jika Anda mengabaikan pembagian dan dividen saham, maka dividen itu terus ada atau tidak. Jadi, Anda harus membuat distribusi campuran untuk pengembalian stok-untuk-stok, pengembalian tunai-untuk-stok, dan kebangkrutan. Kami akan mengabaikan kasus-kasus ini karena kesederhanaan, meskipun hal itu menghalangi kemampuan untuk menyelesaikan model penentuan harga opsi.

Jadi, jika kita membatasi diri $r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t}$ dan mengasumsikan semua dividen, maka pengembalian kami akan menjadi rasio dari dua normals tentang keseimbangan. Saya tidak termasuk dividen karena mereka membuat kekacauan dan saya tidak termasuk kasus-kasus seperti krisis keuangan 2008 karena Anda mendapatkan hasil aneh yang akan mengkonsumsi halaman demi halaman teks.

Sekarang sederhanakan derivasi kami, jika kami menerjemahkan data dari $(p_t^*,p_{t+1}^*)$ untuk $(0,0)$ dan mendefinisikan $\mu=\frac{p_{t+1}^*}{p_t^*}$ kita dapat dengan mudah melihat distribusinya. Dengan tidak adanya batasan pada kewajiban atau kendala anggaran antarwaktu, oleh teorema terkenal, kepadatan pengembalian harus menjadi distribusi Cauchy, yang tidak memiliki rata-rata atau varian. Ketika Anda menerjemahkan semuanya kembali ke ruang harga, kepadatan menjadi

\frac{1}{π} \frac{σ}{σ^{2} + (r_{t} - μ)^{2}} .

$\frac{1}{\pi}\frac{\sigma}{\sigma^2+(r_t-\mu)^2}.$

Karena tidak ada yang berarti, Anda tidak dapat mengambil ekspektasi, melakukan pada atau uji F, menggunakan segala bentuk kuadrat terkecil. Tentu saja, ini akan berbeda jika itu adalah barang antik.

Jika itu adalah barang antik di pelelangan, kutukan pemenang akan didapat. Penawar tinggi memenangkan penawaran dan kepadatan terbatas dari tawaran tinggi adalah distribusi Gumbel. Jadi Anda akan memecahkan masalah yang sama tetapi sebagai rasio dari dua distribusi Gumbel bukan dua distribusi normal.

Masalahnya sebenarnya tidak sesederhana ini. Batasan tanggung jawab memotong semua distribusi yang mendasarinya. Batasan anggaran antarwaktu membuat semua distribusi yang mendasarinya tidak sesuai. Ada distribusi yang berbeda untuk dividen, merger untuk uang tunai, merger untuk saham atau properti, kebangkrutan, dan distribusi Cauchy terpotong untuk masalah yang sedang berjalan seperti di atas. Ada enam jenis distribusi hadir untuk efek ekuitas dalam campuran.

Pasar yang berbeda dengan aturan yang berbeda dan negara eksistensial yang berbeda menciptakan distribusi yang berbeda pula. Sebuah vas antik memiliki case dimana terjatuh dan hancur. Ini juga memiliki kasus keausan atau perubahan lain dalam kualitas intrinsik. Akhirnya, ada juga kasus bahwa jika cukup vas serupa dihancurkan maka pusat lokasi bergerak.

Akhirnya, karena pemotongan dan kurangnya statistik yang cukup untuk parameter, tidak ada penaksir non-Bayesian yang dapat dihitung dan dapat diterima.

Anda dapat menemukan derivasi rasio dua varian normal dan penjelasan di http://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

Anda juga dapat menemukan apa yang tampaknya menjadi makalah pertama pada topik di

Curtiss, JH (1941) Tentang Distribusi Quotient of Two Chance Variables. Sejarah Statistik Matematika, 12, 409-421.

Ada juga makalah tindak lanjut di

Gurland, J. (1948) Rumus Pembalikan untuk Distribusi Rasio. The Annals of Statistics Matematika, 19, 228-237

Untuk formulir autoregresif untuk metode Likelihoodist dan Frequentist di

White, JS (1958) Pembatasan Distribusi Koefisien Serial Serial dalam Kasus Peledak. The Annals of Mathematical Statistics, 29, 1188-1197,

dan generalisasi oleh Rao di

Rao, MM (1961) Konsistensi dan Batas Distribusi Estimator Parameter dalam Persamaan Perbedaan Stochastic Explosive. The Annals of Mathematical Statistics, 32, 195-218

Makalah saya mengambil keempat kertas ini dan lainnya, seperti kertas karya Koopman dan satu karya Jaynes, untuk membangun distribusi jika parameter sebenarnya tidak diketahui. Ia mengamati bahwa White paper di atas memiliki interpretasi Bayesian dan memungkinkan solusi Bayesian meskipun tidak ada solusi non-Bayesian.

Catat itu $\log(R)$ memiliki mean dan varian yang terbatas, tetapi tidak ada struktur kovarians. Distribusi adalah distribusi sekan hiperbolik. Ini juga oleh hasil yang terkenal dalam statistik. Itu tidak bisa benar-benar menjadi distribusi garis potong hiperbolik karena kasus-kasus sampingan seperti kebangkrutan, merger dan dividen. Kasus eksistensial adalah aditif, tetapi log menyiratkan kesalahan multiplikasi.

Anda dapat menemukan artikel tentang distribusi garis potong hiperbolik di

Ding, P. (2014) Tiga Kejadian Distribusi Hyperbolic-Secant. The American Statistician, 68, 32-35

Artikel saya di

Harris, D. (2017) Distribusi Pengembalian. Jurnal Keuangan Matematika, 7, 769-804

Sebelum Anda membaca tulisan saya, Anda harus membaca keempat makalah di atas terlebih dahulu. Juga tidak ada salahnya untuk membaca buku ET Jaynes juga. Sayangnya, ini adalah karya polemik, tetapi tetap keras. Bukunya adalah:

Jaynes, ET (2003) Teori Probabilitas: Bahasa Sains. Cambridge University Press, Cambridge, 205-207

Dave Harris
sumber