Apakah preferensi monotonik dan terus menerus harus rasional?

15

Biarkan menjadi hubungan preferensi monotonik dan kontinu, dan biarkan X=Rn menjadi set konsumsi.

Apakah rasionalitas tersirat oleh kondisi ini?

Saya pikir transitivitas disiratkan oleh kontinuitas. Namun, kelengkapan mengganggu, karena ada elemen x,yX yang tidak dapat dipesan sehubungan dengan atau , dan karenanya kami tidak dapat menggunakan monotonitas untuk menunjukkan bahwa selesai.

Saya telah memikirkan untuk membangun urutan xn dengan x1=x sedemikian rupa sehingga xny dan baik xnxn+1 atau xn+1xn . Kemudian dengan transitivitas dan kontinuitas kita dapat menunjukkan bahwa x dan y dapat dipesan sehubungan dengan , tetapi saya tidak berpikir mungkin untuk membangun urutan seperti itu.

Bantuan apa pun akan dihargai, tetapi tolong beri petunjuk dan bukan solusi lengkap.

möbius
sumber
6
Sayangnya transitivitas suatu hubungan tidak hanya mengikuti dari kontinuitas. Misalkan R menjadi relasi 'memiliki perbedaan ketat kurang dari satu'. Pada bilangan real, R adalah kontinu tetapi tidak transitif.
Giskard
2
Saya cukup yakin bahwa preferensi monotonik dan berkelanjutan tidak selalu rasional.
BB King

Jawaban:

8

Pertimbangkan hubungan preferensi dalam x = ( x 1 , x 2 ) ( y 1 , y 2 ) = yR2 sedemikian rupa sehingga dan .x=(x1,x2)(y1,y2)=y x 2y 2x1y1x2y2

1) Anda mungkin ingin berdebat apakah hubungan preferensi ini benar-benar monoton dan berkelanjutan.

2) Apakah hubungan yang didefinisikan di atas selesai?

Kemudian, sebagai makanan tambahan, Anda mungkin juga mempertimbangkan kembali klaim Anda bahwa kesinambungan adalah penyebab transitivitas.

Catatan: Saya baru saja menulis yang khusus ini dengan tujuan memberikan eksperimen pemikiran. Lebih dengan cara menantang pemahaman Anda. Saya tidak yakin apakah contoh ini memberikan jawaban untuk pertanyaan Anda atau tidak.

Ramadan
sumber
4

Pertanyaannya adalah apakah rasionalitas disiratkan oleh kontinuitas dan monotonisitas. Untuk menunjukkan bahwa ini bukan masalahnya, contoh tandingan akan cukup. Oleh karena itu kami mencari hubungan preferensi intransitif, tidak lengkap, monoton, berkelanjutan.

Misalkan . Dengan demikian, kami membentuk preferensi di atas titik-titik garis dari ( 0 , 1 ) hingga ( 1 , 0 ) . Pertimbangkan hubungan preferensi yang didefinisikan oleh ( 1 , 0 ) ( .5 , .5 ) ( 0 , 1 ) ( 1 , 0X={x0,y0:x+y=1}(0,1)(1,0) yang tidak lengkap sebaliknya.(1,0)(.5,.5)(0,1)(1,0)

Rasionalitas

Rasionalitas terdiri dari kelengkapan dan transitivitas hubungan preferensi, yang didefinisikan sebagai berikut:

Kelengkapan

Relasi preferensi selesai, jika untuk semua , kami memiliki x y , y x , atau keduanya.x,yXxyyx

, sehingga hubungan preferensi tidak lengkap.(.5,.5)≿̸(.5,.5)

Transitivitas

Relasi preferensi adalah transitif, jika dan y z menyiratkan x z .xyyzxz

dan ( .5 , .5 ) ( 0 , 1(1,0)(.5,.5) tahan tetapi ( 1 , 0 ) ̸ ( 0 , 1 ) , sehingga hubungan preferensi tidak transitif.(.5,.5)(0,1)(1,0)≿̸(0,1)

Kontinuitas

Relasi preferensi adalah kontinu jika untuk semua urutan konvergen ke ( x , y ) dengan (xi,yi)i=1(x,y) kita memiliki x y .i:xiyixy

Hubungan preferensi tidak melanggar kontinuitas. Pertimbangkan urutan yang konvergen ke x , y . Urutan-urutan ini hanya dapat sedemikian rupa sehingga x i = x dan y i = y , dan x y , karena semua x i lainnya , y saya juga tidak konvergen ke x , yxiyix,yxi=xyi=yxyxi,yix,y , atau tidak memenuhi . Namun yang jelas jika x iyxiyi kemudian x y .xiyixy

Monotonisitas

Relasi preferensi adalah monoton, jika menyiratkan x y .xyxy

The hubungan menganggap semua elemen X tak tertandingi, sehingga hubungan preferensi monoton.X

Dengan demikian, kami memiliki hubungan preferensi intransitif, tidak lengkap, monoton, berkelanjutan.

HRSE
sumber
Saya berasumsi bahwa , tetapi meskipun demikian definisi hubungan Anda tampaknya tidak lengkap. Apa yang disukai, (0,1,0,9) atau (0,1)? (Dan bagaimana dengan pasangan lainnya?) Dengan antara (0,5,0.5) dan (0,1) maksud Anda ? x1,y1
Giskard
Terima kasih telah menunjukkan kesalahan pengetikan. Mengenai komentar yang tersisa tentang menyediakan hubungan yang tidak lengkap: Inilah intinya. Kami mencari relasi preferensi yang intransitif + tidak lengkap, tetapi pada saat yang sama monoton dan kontinu. Jika kita mulai dengan hubungan preferensi yang lengkap, ini akan mengalahkan tujuannya.
HRSE
Saya melihat. Jadi maksud Anda relasi hanya ditentukan secara tepat di mana Anda mendefinisikannya. Ini tidak selalu terjadi. Misal: 3 <5, tetapi relasinya juga di mana saya belum mendefinisikannya.
Giskard
suatu hubungan selalu hanya "didefinisikan di mana seseorang mendefinisikannya". Secara formal, suatu relasi adalah bagian dari produk kartesius dari suatu set. Untuk definisi relasi, spesifikasi subset tersebut sudah cukup. Dengan demikian, Anda dapat mendefinisikan relasi <pada bilangan real sedemikian rupa sehingga 3 <5. Ini tidak akan sesuai dengan definisi yang biasa, tetapi tetap saja spesifikasi yang valid dari hubungan (tidak lengkap).
HRSE
Baiklah saya akan ulangi komentar saya: Saya kira Anda hanya memberikan beberapa contoh tentang bagaimana hubungan Anda akan bekerja dan bukan definisi yang tepat tetapi sekarang saya mengerti apa yang Anda maksudkan.
Giskard
2

Transitivitas preferensi banding ke beberapa gagasan "intuitif" dari "konsistensi pikiran manusia" dan dapat dikatakan bahwa setiap pengecualian adalah "pengecualian untuk aturan ", dan jadi kami lakukan memiliki aturan abstrak yang memadai.

Sebagai perbandingan, Kelengkapan jauh lebih merupakan "lompatan iman". Itu menggantung di udara, berasal dari ketiadaan, berhubungan dengan ketiadaan ( jadi jawaban untuk pertanyaan Anda adalah tidak ) Mungkin itu dapat didukung oleh beberapa komentar vulgar bahwa "jika Anda menekan seseorang cukup, maka dia akhirnya akan memesan pasangan yang Anda akan letakkan di depannya, bahkan jika hanya untuk menyingkirkan Anda", tapi tentu saja ini, sambil melihat baik dalam praktik, tidak akan pernah berhasil secara teori.

Jadi kita hanya mendefinisikan Kelengkapan ada ... mengapa? Untuk menghindari lebih tepatnya masalah yang tidak terkendali di jalan. Seberapa bermanfaatkah bekerja dengan preferensi yang tidak lengkap? Seberapa berguna jika mengatakan "Saya memiliki model ini, ini mungkin menghasilkan, mungkin tidak, tergantung pada apakah preferensi sudah lengkap atau tidak" ... apa gunanya? Kami kemudian akan dipaksa untuk membuat aturan keputusan alternatif : "Dengan asumsi bahwa preferensi tidak lengkap, maka jika orang tersebut menemukan pasangan yang tidak dapat dia pesan ..." -dia melakukan apa ? Lempar koin? Tapi ini akan membuat "ketidaklengkapan" setara dengan ketidakpedulian ...

Apa lagi? Garis pemikiran ini mungkin sangat menstimulasi, tetapi juga sangat menantang, dan tentu saja pemecah jalur, jika memang, jalan semacam itu ada atau dapat diciptakan. (Menurut pendapat saya, berbagai eksplorasi teoretis dari varietas "fuzzy" mencoba menemukan "jalan tengah" untuk masalah ini - di mana mereka mempertimbangkan situasi di mana orang tersebut tidak memiliki preferensi penuh, juga tidak sepenuhnya "beku" ketika "sulit" "Pasangan muncul).

Alecos Papadopoulos
sumber