Turunkan Persamaan Euler

7

Saya ingin menurunkan Persamaan Euler untuk yang berikut:

$$ max \ jumlah \ limit_ {t = 0} ^ {T} = \ beta ^ {t} U (C_t) $$

$$ s.t. C_t + K_ {t + 1} \ leq f (K_t), t = 0,1,2, ..., T-1 $$ $$ - K_ {T + 1} \ leq 0 $$

Saya agak bingung mengapa F.O.C. memilikinya:

$$ \ frac {d \ mathcal {L}} {dK_ {t + 1}} = - \ lambda_t + \ lambda_ {t + 1} f '(k_ {t + 1}) $$

dan bagaimana kita menggabungkan F.O.C untuk menghasilkan persamaan Euler:

$$ U '(C_t) = \ beta U' (C_ {t + 1}) f '(k_ {t + 1}) $$

Saya menganggap F.O.C.R.t. $ K_ {t + 1} $ demikian karena dimasukkannya bentuk intensif dari fungsi produksi tetapi saya tidak yakin bagaimana dan saya benar-benar ingin memahami ini sepenuhnya. Saya juga perlu memastikan bahwa saya memahami bagaimana kami menggunakan FOC untuk menghasilkan Persamaan Euler. Adakah yang bisa memberikan sedikit kejelasan?

macroeconomics 123
sumber

Jawaban:

3

Pertanyaannya cukup mudah, dan Anda tidak perlu yang pertama langkah yang Anda miliki. Anda memiliki (karena alasan tertentu) pengganda yang berbeda di sini untuk setiap periode waktu. Itu tidak terjadi - Anda hanya punya kondisi skema no-ponzi, alias kendala transversalitas. Masalah dinyatakan sebagai $ max \, \ jumlah \ beta ^ {t} U (c_ {t}) $ st $ c_ {t} + k_ {t + 1} \ leq f (k_ {t}) $ Aliran utilitas ke agen adalah $ U = \ jumlah \ beta ^ {t} U (Cc_ {t}) = U (c_ {0}) + .... \ beta ^ {t} U (c_ {t }) + \ beta ^ {t + 1} U (c_ {t + 1}) + ... + \ beta ^ {T} U (c_ {T}). $

Pengganti dalam $ f (k_ {t + 1}) - k_ {t} $ untuk $ c_ {t} $. Kemudian, kami mendapatkan wrt $ k_ {t + 1} $ dan set sama dengan 0: $ \ frac {\ partial U} {\ partial k_ {t + 1}} = \ beta ^ {t} U '(c_ {t}) - \ beta ^ {t + 1} U '(c_ {t + 1}) f' (k_ {t + 1}) = 0 \ Rightarrow U '(c_ {t}) = \ beta U' (c_ {t + 1} ) f '(k_ {t + 1}). $

Anda tidak perlu persamaan lain yang Anda maksud.

ChinG
sumber
Oh ya. Maaf ... Saya merasa ini pertanyaan yang sangat konyol sekarang. Saya baru saja mengganti ini dan memperluas dan melihat semuanya dengan sangat jelas. Terima kasih atas jawabannya.
123
1
Seseorang tidak dapat membuat substitusi yang Anda sarankan selama hubungannya adalah ketidaksetaraan. Pertama-tama orang harus berdebat mengapa itu akan berlaku sebagai kesetaraan.
Alecos Papadopoulos
2
@ChinG Memang, dan ini adalah argumen yang mengubah ketidaksetaraan menjadi kesetaraan, dan karena itu milik badan utama jawaban Anda, itulah poin dari komentar saya. Karena masalah memiliki solusi bahkan jika kita mempertahankan ketidaksetaraan (dalam hal ini kita harus menggunakan pengganda).
Alecos Papadopoulos
1
@Alecos Terima kasih! Saya akan mencoba menjadi lebih lengkap di masa depan.
ChinG
1
@AlecosPapadopoulos - Ya, ini benar. Namun, saya menganggap dia menganggap argumen itu jelas. Terima kasih juga atas jawaban anda Keduanya bersama-sama memberikan banyak kejelasan.
123
2

Masalah penuhnya adalah $$ \ maks _ {\ {C_t, K_ {t + 1} \} _ 0 ^ {\ infty}} \ jumlah \ limit_ {t = 0} ^ {T} \ beta ^ {t} U (C_t) $$

$$ s.t. \; \; C_t + K_ {t + 1} \ leq f (K_t), t = 0,1,2, ..., T-1, \; \; \; \; \; -K_ {T + 1} \ leq 0 $$

Jadi kami memaksimalkan juga sehubungan dengan konsumsi . Lagrangean adalah

$$ \ mathcal L = \ jumlah \ limit_ {t = 0} ^ {T} \ Besar (\ beta ^ {t} \ besar [U (C_t) + \ lambda_t \ besar (f (K_t) - C_t-K_ { t + 1} \ besar) \ besar] \ Besar) $$

Perhatikan bahwa diskon faktor diskon juga kendala. Kemudian

$$ \ frac {d \ mathcal {L}} {dC_t} = \ beta ^ {t} \ big (U '(C_t) - \ lambda_t \ big) = 0 \ implikasi U' (C_t) = \ lambda_t $$

dan juga $ U '(C_ {t + 1}) = \ lambda_ {t + 1} $

Bahkan,

$$ \ frac {d \ mathcal {L}} {dK_ {t + 1}} = - \ beta ^ t \ lambda_t + \ beta ^ {t + 1} \ lambda_ {t + 1} f '(k_ {t + 1}) = 0 \ menyiratkan - \ lambda_t + \ beta \ lambda_ {t + 1} f '(k_ {t + 1}) = 0 $$

Menggabungkan dan mengatur ulang, kita mendapatkan persamaan Euler.

Alecos Papadopoulos
sumber
1

Saya tidak yakin apakah saya sepenuhnya memahami pertanyaan Anda, tetapi saya akan mencobanya.

Jika Anda bingung tentang FOC pertama yang Anda tulis (sepertinya benar): Anda tidak hanya memiliki satu kendala lagi, seperti Anda dapat terbiasa dengan kursus ekonomi dasar. Anda memiliki batasan T, kendala satu kali untuk setiap periode waktu. Karenanya Anda memiliki pengali Lagrange Lambda. Tuliskan kendala misalnya untuk tiga t dan Anda akan melihat apa yang saya maksud. Batasan Anda adalah sesuatu seperti lammbda_t * (C_t + Kt + 1 - f (Kt)) + lambda_t + 1 * (C_t + 1 + Kt + 2 - f (Kt + 1)) + lambda_t + 2 * (C_t + 2 + Kt + 3 - f (Kt + 2)) dan seterusnya hingga T.

Sekarang untuk mendapatkan persamaan Euler: Jika Anda mengambil turunannya sehubungan dengan K_t +1 Anda akan mendapatkan FOC Anda di sana. (Ini adalah FOC untuk seluruh Lagrangian, karena turunan dari U (C) sehubungan dengan K adalah 0 di sini, karena ketergantungan C pada K sudah ada dalam batasan.)

Persamaan Euler Anda melibatkan 3 variabel yang tidak diketahui: Ct, Ct + 1 dan Kt + 1. Karena itu, Anda akan membutuhkan tiga FOC. Nr maksimum. FOC yang Anda miliki di sini adalah 2T (T kali untuk setiap C dan T kali untuk setiap K).

Seperti yang Anda lihat, FOC yang sudah Anda miliki memiliki 2 hal yang ingin Anda singkirkan dari lambda_t dan lambda_t +1. Anda juga ingin mendapatkan utilitas marginal dari C_t dan C_t +1 di sana. Jadi, ambil turunannya sehubungan dengan Ct dan Ct +1 dari lagrangian Anda. Petunjuk: Salah satunya adalah: ß ^ t * U '(Ct) - lambda_t = 0.

Masukkan ketiga persamaan itu sekarang, hilangkan lambda dan Anda harus mendapatkan Persamaan Euler Anda.

BB King
sumber
1

Tidak ada batasan pinjaman dari periode ke periode. Anda hanya memiliki kondisi transversalitas. Namun, kendala akan mengikat jika Anda memiliki kondisi Inada, dalam hal ini Anda tidak perlu pengganda.

ChinG
sumber