Berjuang dengan permintaan yang tidak dikompensasi / dikompensasi

Saya sedang mengerjakan set masalah untuk kursus ekonomi mikro menengah saya, tetapi saya mengalami kesulitan mendapatkan fungsi permintaan yang dikompensasi dan tidak dikompensasi. Ini adalah fungsi utilitas:

, dengan barang-barang x , y , z dan pendapatan saya . Saya menemukan nilai optimal berikut:$U(x, y, z) = aln(x) + bln(y) + z$$x$$y$$z$$I$

, y = ( P z / P y ) b , z = ( I / P z ) - a - $x = (P_z/P_x)a$$y = (P_z/P_y)b$$z = (I/P_z) - a - b$

Meskipun saya mengikuti langkah-langkahnya, saya tidak sepenuhnya yakin ini benar. Selain itu, saya harus menemukan efek harga silang dan fungsi permintaan yang dikompensasi dan tidak dikompensasi, tapi saya mengalami beberapa masalah serius dalam menyelesaikan masalah ini.

Pertama, kami ingin menemukan keranjang barang yang optimal, yaitu berapa banyak untuk membeli barang , y dan z untuk mendapatkan nilai maksimum U dari itu.$x$$y$$z$

Mari kita tuliskan untuk x dan y terhadap z . Untuk ini kita perlu membedakan fungsi utilitas untuk masing-masing variabel: d x U ( x , y , z ) = a / x , d y U ( x , y , z ) = b / y , d z U ( z , y , z ) $MRS$$x$$y$$z$$d_xU(x,y,z)=a/x$$d_yU(x,y,z)=b/y$ . Oleh karena itu kami menyimpulkan tingkat substitusi menjadi - 1 a / x dan - b / y .$d_zU(z,y,z)=1$$-1a/x$$-b/y$

Jadi kita memiliki: dan p y / p z = b /$p_x/p_z=a/x$$p_y/p_z=b/y$

Batasan anggaran adalah yang kita tulis ulang p x ( a p z / p x ) + p y ( b p z / p y ) + p z z = I , yang menyederhanakan di sebuah p z + b p z + z p z = $p_xx+p_yy+p_zz=I$$p_x(ap_z/p_x)+p_y(bp_z/p_y)+p_zz=I$$ap_z+bp_z+zp_z=I$

$z^*=(I/p_z)-a-b$

$(x^*,y^*,z^*)=(ap_z/p_x, bp_z/p_y,(I/p_z)-a-b)$

Berita bagus, Anda benar :).

Efek harga silang adalah kenaikan permintaan dalam barang mengikuti kenaikan harga barang z . Hitung saja perbedaan antara x ∗ untuk p z dan x ∗ untuk p ′ z = p z + ϵ (menggunakan x ∗ = a p z / p x ).$x$$z$$x^*$$p_z$$x^*$$p_z'=p_z+\epsilon$$x^*=ap_z/p_x$

Akhirnya, keenam kurva yang ditanyakan adalah bagaimana permintaan berubah ketika perubahan harga menahan pendapatan ( ) konstan, atau utilitas ( U ) konstan. Draw sama dengan mengambil dua harga tetap untuk setiap situasi.$I$$U$

$$\begin{matrix} max_{x,y,z}U(x,y,z)=aln(x)+bln(y)+z &\text{subject to} & xp_x+yp_y+zp_z=I, & x,y>0, & z\geq 0 \end{matrix}$$ $$\begin{matrix} \frac{ay}{bx}=\frac{p_x}{p_y}, &\frac{a}{x}=\frac{p_x}{p_z}, &\frac{b}{y} =\frac{p_y}{p_z}. \end{matrix}$$ $$\frac{I}{p_z}\geq (a+b)$$ $$\begin{matrix} max_{x,y}U(x,y)=aln(x)+bln(y) &\text{subject to} & xp_x+yp_y=I, & x,y>0 \end{matrix}$$ $$\frac{ay}{bx}=\frac{p_x}{p_y}$$ $$(x,y,z)(p_x,p_y,p_z,I)=\begin{cases} \left ( \frac{ap_z}{p_x},\frac{bp_z}{p_y},\frac{I}{p_z}-a-b \right ), & \text{ if } \frac{I}{p_z}\geq (a+b), \\ \left ( \frac{Ia}{(a+b)p_x},\frac{Ib}{(a+b)p_y},0 \right )& \text{ otherwise. } \end{cases}$$