Untuk fungsi permintaan apa monopoli paling berbahaya?

Pertimbangkan perusahaan dengan biaya marjinal nol. Jika memberikan produk secara gratis, maka semua permintaan terpenuhi dan kesejahteraan sosial meningkat dengan jumlah maksimum yang mungkin; menyebut peningkatan ini .$W$

Tetapi karena perusahaan adalah monopoli, itu mengurangi permintaan dan meningkatkan harga untuk mengoptimalkan pendapatannya. Sekarang kesejahteraan meningkat sosial dengan jumlah yang lebih kecil, mengatakan, .$V$

Mendefinisikan hilangnya relatif kesejahteraan (kerugian bobot mati) sebagai: . Rasio ini tergantung pada bentuk fungsi permintaan. Jadi pertanyaan saya adalah: apakah rasio ini dibatasi, atau dapatkah itu secara sewenang-wenang besar? Khususnya:$W/V$

• Jika dibatasi, lalu untuk fungsi permintaan apa ia dimaksimalkan?$W/V$
• Jika tidak terikat, lalu untuk keluarga fungsi permintaan apa ia bisa menjadi besar secara sewenang-wenang?$W/V$

Inilah yang saya coba sejauh ini. Biarkan menjadi fungsi utilitas marjinal konsumen (yang juga merupakan fungsi permintaan terbalik). Asumsikan bahwa ia terbatas, halus, menurun secara monoton, dan diskalakan ke domain . Biarkan menjadi anti-turunannya. Kemudian:$u(x)$$x\in[0,1]$$U(x)$

• $W = U(1)-U(0)$ , total area di bawah .$u$
• $V = U(x_m)-U(0)$, where $x_m$ is the amount produced by the monopoly. This is the area under $u$ except the "deadweight loss" part.
• $x_m = \arg \max (x \cdot u(x))$ = the quantity which maximizes the producer's revenue (the marked rectangle).
• $x_m$ can usually be calculated using the first-order condition: $u(x_m) = -x_m u'(x_m)$.

To get some feeling of how $W/V$ behaves, I tried some function families.

Let $u(x)=(1-x)^{t-1}$, where $t>1$ is a parameter. Then:

• $U(x)=-(1-x)^{t}/t$.
• The first-order condition gives: $x_m=1/t$.
• $W=U(1)-U(0) = 1/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-(\frac{t-1}{t})^{t})/t$
• $W/V=1/[1-(\frac{t-1}{t})^{t}]$

When $t\to\infty$, $W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$, so for this family, $W/V$ is bounded.

But what happens with other families? Here is another example:

Let $u(x)=e^{-t x}$, where $t>0$ is a parameter. Then:

• $U(x)=-e^{-t x}/t$.
• The first-order condition gives: $x_m=1/t$.
• $W=U(1)-U(0) = (1-e^{-t})/t$
• $V=U(x_m)-U(0)=(1-e^{-1})/t$
• $W/V=(1-e^{-t})/(1-e^{-1})$

When $t\to\infty$, again $W/V \to 1/(1-1/e)\approx 1.58$, so here again $W/V$ is bounded.

And a third example, which I had to solve numerically:

Let $u(x)=\ln(a-x)$, where $a>2$ is a parameter. Then:

• $U(x)=-(a-x)log(a-x)-x$.
• The first-order condition gives: $x_m=(a-x_m)\ln(a-x_m)$. Using this desmos graph, I found out that $x_m \approx 0.55(a-1)$. Of course this solution is only valid when $0.55(a-1)\leq 1$; otherwise we get $x_m=1$ and there is no deadweight loss.
• Using the same graph, I found out that $W/V$ is decreasing with $a$, so its supremum value is when $a=2$, and it is approximately 1.3.

Is there another family of finite functions for which $W/V$ can grow infinitely?

An arbitrarily large ratio should occur with demand curve

$P=\begin{cases} \frac{1}{Q} & \text{if } Q>1 \\ 2-Q & \text{if } Q\leq 1 \\ \end{cases}$.

The monopolist prices at $P=1$, but the consumers' surplus if $P=0$ is infinite, because the area under the demand curve contains $\int_1^\infty \frac{1}{Q}dQ=\infty$.