Manakah dari aksioma Anscombe-Aumann yang menyiratkan prinsip Sure-Thing?

Pertimbangkan pengaturan Anscombe-Aumann, dan asumsikan bahwa hubungan preferensi memuaskan semua aksioma asli Anscombe-Aumann (rasionalitas, kontinuitas, kemandirian, dan monotonisitas).

Jika kita membatasi perhatian pada pacuan kuda murni (yaitu, bertindak tanpa ada ketidakpastian obyektif), model Anscombe-Aumann bermuara pada perwakilan Utility yang Diharapkan Subyektif Utilitas ala Savage. Oleh karena itu, dibandingkan pacuan kuda murni, pembuat keputusan memuaskan semua aksioma Savage, terutama Prinsip Sure-Thing (P2 dalam terminologi Savage).

Saya gagal melihat hubungan langsung antara aksioma Anscombe-Aumann dan Prinsip Sure-Thing. Adakah yang melihat bagaimana Prinsip Sure-Thing tersirat oleh aksioma Anscombe-Aumann? Secara khusus, apakah itu hasil dari Kemerdekaan saja, atau Kemandirian DAN Monotonitas diperlukan?

Sebagai komentar pertama: aksioma Anscombe-Aumann, khususnya Kemandirian, didefinisikan atas tindakan yang mengambil ruang negara ke ruang linier (umumnya lotere sederhana di atas objek konsumsi). Bahkan ketika kita mempertimbangkan pembatasan model untuk murni tindakan tidak menentu subyektif, kita masih perlu menggunakan model lengkap atau kita akan kehilangan informasi.

Yang sedang berkata: Mari kita biarkan menjadi ruang keadaan terbatas, dan serangkaian alternatif yang terbatas. Biarkan menunjukkan semua lotre di atas dan adalah sebuah akting. Untuk acara , misalkan adalah tindakan yang didefinisikan oleh X Δ ( X ) X f : S → Δ ( X ) E ⊆ S f - E g f - E g { f ( s )  jika  x ∈ E g ( s )  jika  x ∉ E $S$$X$$\Delta(X)$$X$$f: S \to \Delta(X)$$E \subseteq S$$f_{-E}g$

$$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$$

Sekarang, kita dapat mengatakan bahwa model kita memenuhi prinsip hal yang pasti jika dan laluDefinisi ini berlaku untuk semua tindakan, bukan hanya yang tanpa risiko objektif, tetapi jelas Anda hanya dapat mempertimbangkan proyeksi yang relevan.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$$f \succsim g.$

Asumsikan pendahulunya dari STP. Dari dan kemandirian kita memilikinya Perhatikan kita dapat menulis ulang ini sebagai dan, menerapkan independensi lagi, kita mendapatkan $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$

$$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$$ $$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}$$

Dengan cara yang analog, dari dan kemandirian kita memiliki itu Sekali lagi, kita dapat menulis ulang sebagai dan, menerapkan independensi lagi, kita mendapatkan $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$$ $$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}$$

Menggabungkan (1) dan (2) melalui transitivitas menghasilkan hubungan yang diinginkan. Kembali ke komentar awal, perhatikan bahwa untuk menerapkan independensi, kita perlu mencampuradukkan tindakan, yang menarik risiko obyektif. Jadi, bahkan ketika , , dan tidak memiliki risiko objektif, kita masih memerlukan tindakan berisiko untuk bertindak sebagai perantara dalam buktinya. Dalam arti tertentu, ini adalah wawasan besar ke seluruh kerangka kerja AA --- menggunakan risiko obyektif untuk menyiasati perlunya ruang keadaan tanpa batas dengan menggunakan linearitas harapan untuk memaksa STP.$f$$g$$h$

Perhatikan hanya independensi dan transitivitas yang digunakan. Ini harus menunjukkan bahwa bahkan UE yang bergantung pada negara (di mana monotonisitas / kemerdekaan negara gagal) atau Bewley UE (di mana kelengkapannya santai) masih akan memuaskan STP.

---

Edit dalam menanggapi komentar: Mari kita sebut gagasan di atas dari Prinsip Hal Pasti STP1 dan katakan preferensi memenuhi STP2 jika untuk semua . Maka jika adalah preorder, itu memenuhi STP1 jika dan hanya jika itu memenuhi STP2.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$$f,g,h,h'$$\succsim$

Asumsikan STP2 pertama memegang dan bahwa dan . Kemudian oleh STP2 kita memiliki Transitivitas menyiratkan ; STP1 berlaku.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$$ $f \succsim g$

Selanjutnya, anggap STP1 memegang dan . Tentukan dan analog. Menurut definisi jadi asumsi kami secara identik bahwa Selanjutnya jadi kita memiliki, dengan refleksivitas preferensi, yang Sekarang kita dapat menerapkan STP1 ke (3) dan (4) untuk mendapatkan$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$\hat f = f_{-E}h'$$\hat g$

$$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$$ $$\begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation}$$ $\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$ $$\begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation}$$ $\hat f \succsim \hat g$, yang, dengan definisi mereka, persis apa yang perlu kita tunjukkan agar STP2 dapat bertahan.