Apa kondisi yang diperlukan dan cukup pada fungsi utilitas untuk pengganti kotor?

Apa kondisi yang diperlukan dan cukup pada fungsi utilitas untuk pengganti kotor? Pengganti bruto adalah:

The kertas @Henry dimaksud dalam komentar cukup banyak jawaban pertanyaan ini. Untuk penutupan, dan untuk meringkas cairan, kertas membuka:

Seperti yang sudah sangat diketahui, kasus di mana semua permintaan berlebih memiliki properti pengganti bruto adalah kasus di mana hasil yang sangat kuat dapat diperoleh mengenai keunikan dan stabilitas keseimbangan umum. Mempertimbangkan berapa lama hal ini telah diketahui, mungkin luar biasa bahwa kita tampaknya tidak memiliki karakterisasi yang nyaman dari kelas fungsi utilitas yang menghasilkan fungsi permintaan individu dengan properti pengganti bruto. ...Catatan [ini] memberikan karakterisasi seluruh kelas fungsi utilitas yang memiliki properti pengganti bruto. Karena minat utama pada properti itu adalah dalam analisis keseimbangan umum, kita terutama akan memusatkan perhatian pada diri kita sendiri dengan fungsi-fungsi permintaan yang muncul dalam kondisi pertukaran daripada dengan fungsi-fungsi yang muncul ketika pendapatan ditetapkan, terlepas dari harga. Perpanjangan hasil untuk kasus yang terakhir diberikan di akhir makalah.

Hasil utamanya adalah, di pasar pertukaran, untuk dana abadi awal (mengutip secara langsung):

$U(x)$$i, j = 1,...,n, j \ne i$$Y$$p$

Dimana:

• $e_i$$\frac{\partial x_i}{\partial Y}/\frac{Y}{x_i}$
• $\alpha_i$$\alpha_i = \frac{p_ix_i}{Y}$
• $\eta_{ij}$

Ada beberapa akibat wajarnya.

Komplikasi utama dengan semua ini adalah Anda harus mempertimbangkan elastisitas pendapatan atau lebih tepatnya pendapatan. Beberapa kelas luas dari fungsi utilitas yang cukup untuk GS terlepas dari apa pun, hanya disebutkan secara singkat di intro kertas.