Apakah teorema amplop tahan pada solusi sudut?

Misalkan kita memiliki fungsi produksi berikut:

$$F(L,K)=\max_{L_K}H(L,L_K,K)=\max_{L_K}\left[(L-L_K+1)^\alpha(L_K+K)^{1-\alpha}\right]=(L-L_K^*+1)^\alpha(L_K^*+K)^{1-\alpha}$$

Dengan batasan .$L_K\in[0,L]$

Kita tahu bahwa Karenanya nilai untuk di mana turunannya nol adalah . Dan nilai optimal adalah:

$$\frac {dH}{dL_K}=\alpha(L-L_K+1)^{-1}H+(1-\alpha)(L_K+K)^{-1}H=0$$ $L_K$$L_K^0=\frac {(1-\alpha)(L+1)+\alpha K}{1-2\alpha}$$L_K^*$ $$L_K^*=\begin{cases} L_K^0 &\text{ if } &0<L_K<L &(1)\\ L&\text { if } &L<L_K^0&(2)\\ 0 &\text { if } &L_K^0<0 &(3) \end{cases}$$

Jelas bahwa jika , (case ), maka teorema amplop memegang:$L_K^*\in(0,L)$$(1)$

$$\frac d {dL} F(L,K)=\frac \partial {\partial L}H(L,L_K^*,K)=\alpha(L-L_K^*+1)^{-1}\cdot F(L,K)$$

Selain itu, dalam kasus ketiga (3), juga jelas bagi saya bahwa teorema amplop berlaku. Namun, saya tidak begitu yakin tentang kasus kedua (2) . Saya akan mengatakan bahwa teorema amplop tidak berlaku dalam kasus ini , karena jika kita mengganti kembali ke fungsi produksi asli, kita mendapatkan Dan turunannya sehubungan dengan dalam hal ini adalah $L_K^*$

$$F(L,K)=1^\alpha(L+K)^{1-\alpha}$$ $L$ $$(1-\alpha)(L+K)^{-1}\cdot F(L,K)$$

Untuk memegang teorema amplop dalam kasus 3, ini akan memerlukan , yang Hampir-Selalu tidak tahan.$\alpha= (1-\alpha)(L+K)^{-1}$

---

Tetapi alasan ini membingungkan saya adalah bahwa dalam pertanyaan ini saya dirujuk ke makalah ini , yang memiliki teorema yang menyatakan:

---

Jadi pertanyaan saya adalah:

1. Apakah saya benar bahwa teorema amplop tidak berlaku ketika berada di solusi sudut?$L_K$

2. Apakah ini bertentangan dengan teorema, atau apakah saya salah memahami teorema? Jika tidak, apakah teorema itu benar?

Pertama, Anda membuat kesalahan tanda dalam perhitungan. Setelah mengoreksi kesalahan Anda, hipotesis penting yang Anda lewatkan adalah bahwa , set pilihan, tidak bergantung pada variabel dalam teorema (dengan notasi teorema). Untuk menerapkan teorema dengan benar, interval tidak harus tergantung pada .$X$$t$$[0,L]$$L$

A) Tanda kesalahan

$$\frac{\partial H}{\partial L_K}=-\alpha (L-L_K+1)^{-1}H+(1-\alpha)(L_K+K)^{-1}H=0$$ Kami mendefinisikan .$L_K^0= (1-\alpha)(L+1)-\alpha K$

B) Mengapa kita bisa berpikir bahwa teorema hasil amplop mungkin gagal

Menganggap bahwa , ada empat kemungkinan kasus.$0<\alpha<1$

(1) . Satu dapat memeriksa fungsi tujuan adalah cekung, sehingga .$L_K^0\in [0,L]$$L_K^*=L_K^0$

(2.i) dan . Kemudian .$L_K^0\notin [0,L]$$H(L,0,K)< H(L,L,K)$$L_K^*=0$

(2.ii) dan . Kemudian .$L_K^0\notin [0,L]$$H(L,0,K)> H(L,L,K)$$L_K^*=L$

(2.iii) (hanya untuk menjadi lengkap) dan . Kemudian ada dua solusi, dan .$L_K^0\notin [0,L]$$H(L,0,K)= H(L,L,K)$$0$$L$

Dalam kasus (1), Istilah kedua dari sisi kanan sama dengan nol berkat kondisi orde pertama. Ini kompatibel dengan hasil teorema amplop untuk solusi interior.

$$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,L^*_K,K)+\frac{\partial L^*_K}{\partial L}.\frac{\partial H}{\partial L_K}(L,L^*_K,K).$$

Dalam kasus (2.i), dan sebagainya Ini kompatibel dengan hasil teorema amplop untuk solusi sudut di sini.$F(L,K)=H(L,0,K)$

$$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,0,K).$$

Dalam kasus (2.ii), dan sebagainya$F(L,K)=H(L,L,K)$

$$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(L,L_K=L,K)+\frac{\partial H}{\partial L_K}(L,L_K=L,K).$$

Kita harus berhati-hati tentang notasi di sini, berarti turunan parsial yang sesuai dengan argumen pertama, dan dengan yang kedua. Istilah kedua dari sisi kanan adalah nol, yang tidak sesuai dengan hasil teorema amplop .$\frac{\partial H}{\partial L}$$\frac{\partial H}{\partial L_K}$

C) Kenapa sebenarnya tidak gagal

Tulis masalah sebagai , dengan Masalah ini setara dengan yang pertama. Perbedaan utama adalah bahwa interval tidak tergantung pada atau . Ini adalah alasan mengapa kita dapat menerapkan teorema amplop, padahal itu salah untuk menerapkannya sebelumnya.$F(L,K)=\max_{x\in [0,1]}H(x,L,K)$

$$H(x,L,K)=(L-x L+1)^\alpha(x L+K)^{1-\alpha}.$$ $[0,1]$$L$$K$

Kita dapat memeriksa bahwa case (2.ii) kompatibel dengan teorema envelope, kita memiliki dan sebagainya$F(L,K)=H(x=1,L,K)$

$$\frac{\partial F}{\partial L}(L,K)=\frac{\partial H}{\partial L}(x=1,L,K).$$