Log-linierisasi persamaan Euler dengan istilah harapan

10

Ada beberapa sumber daya online yang tersedia untuk membantu dengan linierisasi log (misalnya, di sini atau di sini ). Namun, log-linierisasi di mana ekspektasi terlibat sedikit rumit karena log tidak bisa begitu saja "melewati" operator ekspektasi. Bisakah seseorang membantu aljabar dalam contoh ini?

Saya memiliki persamaan Euler (persamaan 1) di mana. Saya mencoba untuk mendapatkan ekspresi untuk tingkat bebas risiko dan ekspresi untuk premium ekuitas. Bagaimana saya harus melakukan ini?

1 = E_{t} [{δ {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{1 + R_{m, t + 1}}}^{1 - θ} 1 + R_{saya, t + 1}]

$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$

θ = (1 - γ) / (1 - 1 / ψ)

$\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

Tampaknya dari link kedua di atas bahwa saya harus mulai dengan mengganti variabel menarik seperti begitu . Kemudian mengikuti langkah-langkah yang diberikan, sepertinya saya harus sampai pada (persamaan 2) $C_t = c e^{\tilde C_t}$

\begin{aligned} 1 = E_{t} [{δ {(\frac{{\tilde{C}}_{t + 1} + 1}{{\tilde{C}}_{t} + 1})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{(1 + R_{m}) [\tilde{(1 + R_{m, t + 1})} + 1]}}^{1 - θ} \cdot \cdot [(1 + R_{saya}) [\tilde{(1 + R_{saya, t + 1})} + 1]]] . \end{aligned}

$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$

Tapi kemana saya harus pergi dari sini?

EDIT:

Saya telah menyalin persamaan 1 langsung dari catatan yang saya miliki. Ini mungkin adalah kasus bahwa istilah di sebelah kanan, , harus dalam tanda kurung, . Dalam upaya awal saya di log-linierisasi saya telah memperlakukannya seperti ini. $1 + R_{i,t+1}$ $(1 + R_{i,t+1})$
Dalam persamaan 2, saya telah mengikuti langkah-langkah dalam instruksi yang dapat ditemukan di tautan kedua di awal. Jadi, dan tanpa waktu subskrip adalah nilai-nilai ini dalam kondisi mapan. $R_i$ $R_m$
adalah pengembalian portofolio pasar dan adalah return on asset . $R_m$ $R_i$ $i$

EDIT 2:

Terima kasih atas komentar yang bermanfaat. Jadi, dari apa yang telah saya kumpulkan sejauh ini, saya harus mendapatkan sesuatu seperti ini:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) \\ \cdot (1 + R_{i}) ((1 + {\tilde{R}}_{i, t} \frac{R_{i}}{1 + R_{i}})] \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$

Maka ini akan menyiratkan bahwa tingkat bebas risiko ditemukan sebagai berikut:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) (1 + R_{f})] \\ 1 & = E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{f})] \\ \frac{1}{E_{t} [m_{t + 1}]} & = 1 + R_{f} . \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$

Apakah ini benar? Dan sekarang, untuk menyelesaikan pertanyaan, bagaimana saya menemukan premi ekuitas?

macroeconomics asset-pricing ethan1410
sumber

Saya dalam pelarian, tetapi apakah Anda memiliki akses ke buku Gali? Saya pikir dia melakukannya secara luas, iirc

FooBar

Tidak. Apakah ini buku Kebijakan Moneter yang akan dimasukkan? "Kebijakan Moneter, Inflasi, dan Siklus Bisnis?"

ethan1410

Kesetaraan terakhir yang Anda berikan (1 di atas tingkat bebas risiko sama dengan harapan sdf) selalu benar, jadi itu pertanda baik. Untuk menemukan premium ekuitas, menemukan harga untuk

, nilai klaim ke pasar, kemudian kurangi harga risiko kembali gratis: 1.

E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{m})]

$E_t[m_{t+1}(1+R_m)]$

jayk

4

Mari kita abaikan sejenak keberadaan nilai yang diharapkan. Jika ini adalah pengaturan deterministik, linierisasi melalui pengambilan log akan langsung, dan tanpa trik tautan yang disediakan OP. Mengambil log natural di kedua sisi persamaan pertama kita dapatkan:

\begin{matrix} (1) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} \ln (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}) - (1 - θ) \ln (1 + R_{m, t + 1}) + \ln (1 + R_{i, t + 1}) \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$

Set

\begin{matrix} (2) & {\hat{c}}_{t + 1} = \frac{C_{t + 1} - C_{t}}{C_{t}} \Rightarrow \frac{C_{t + 1}}{C_{t}} = 1 + {\hat{c}}_{t + 1} \end{matrix}

$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$

Juga, perhatikan bahwa ini merupakan perkiraan standar untuk menulis setidaknya untuk . Biasanya ini adalah kasus dengan tingkat pertumbuhan dan tingkat keuangan sehingga kami dapatkan $\ln (1+a) \approx a$ $|a|<0.1$

\begin{matrix} (3) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} {\hat{c}}_{t + 1} - (1 - θ) R_{m, t + 1} + R_{i, t + 1} \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$

yang merupakan hubungan dinamis yang jelas yang menghubungkan tiga variabel yang ada. Jika dalam model, kondisi mapan ditandai dengan konsumsi dan konstan hasil konstan, maka itu kita akan memiliki dan hubungan mapan akan $\hat c_{t+1} =0$

\begin{matrix} (4) & R_{i} = - θ \ln δ + (1 - θ) R_{m} \end{matrix}

$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$

Tapi kami melakukan semua ini mengabaikan nilai yang diharapkan. Ekspresi kita adalah , bukan hanya $E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$ $f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$ . Masukkan ekspansi Taylor orde pertama dari . Kami membutuhkan pusat ekspansi. Mewakili empat variabel hanya dengan (tidak ada salahnya bahwa variabel dengan -index hadir di ). Kami memilih untuk memperluas fungsi sekitar . Begitu $f()$ $\mathbf z_{t+1}$ $t$ $\mathbf z_{t+1}$ $E_t(\mathbf z_{t+1})$

\begin{matrix} (5) & f (z_{t + 1}) \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) + \nabla f (E_{t} [z_{t + 1}]) \cdot (z_{t + 1} - E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$

Kemudian

\begin{matrix} (6) & E_{t} [f (z_{t + 1})] \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$

Jelas ini adalah perkiraan, yaitu memiliki kesalahan, bahkan jika hanya karena ketidaksetaraan Jensen. Tetapi ini adalah praktik standar. Kemudian kita melihat bahwa semua pekerjaan sebelumnya yang kita lakukan pada versi deterministik, dapat diterapkan dalam versi stokastik memasukkan nilai-nilai yang diharapkan bersyarat di tempat variabel. Jadi. ditulis $(3)$

\begin{matrix} (7) & 0 = θ dalam δ - \frac{θ}{ψ} E_{t} [{\hat{c}}_{t + 1}] - (1 - θ) E_{t} [R_{m, t + 1}] + E_{t} [R_{saya, t + 1}] \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$

Tetapi di mana nilai-nilai kondisi-mapan ? Nah, nilai steady state dalam konteks stokastik agak sulit - apakah kita berpendapat bahwa variabel kita (yang sekarang diperlakukan sebagai variabel acak) menjadi konstanta ? Atau adakah cara lain untuk mendefinisikan kondisi mapan dalam konteks stokastik?

Ada lebih dari satu cara. Salah satunya, adalah "kondisi mantap pandangan ke depan yang sempurna", di mana kami meramalkan dengan sempurna nilai yang belum tentu konstan (ini adalah konsep "keseimbangan sebagai pemenuhan harapan"). Ini misalnya digunakan dalam buku Jordi Gali yang disebutkan dalam komentar. "Steady-state steady state Sempurna" didefinisikan oleh

\begin{matrix} (8) & E_{t} (x_{t + 1}) = x_{t + 1} \end{matrix}

$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$

Di bawah konsep ini, mis. menjadi persamaan. yang sekarang merupakan persamaan "kondisi stabil stokastik masa depan". $(7)$ $(3)$

Jika kita menginginkan kondisi yang lebih kuat, dengan mengatakan bahwa variabel menjadi konstan dalam kondisi mapan, maka masuk akal juga untuk berpendapat bahwa, sekali lagi, perkiraan mereka pada akhirnya akan sempurna. Dalam hal ini, kondisi mapan ekonomi stokastik sama dengan kondisi ekonomi deterministik, yaitu persamaan. . $(4)$

Alecos Papadopoulos
sumber

@ jmbejara Ini benar sekali . Ini adalah nilai yang diharapkan dari pendekatan Taylor urutan pertama terpotong dari suatu fungsi. Apakah Anda tidak setuju dengan itu? Apakah Anda menganggapnya sebagai pendekatan suboptimal , adalah masalah lain, dan ada hubungannya dengan kriteria apa yang Anda gunakan untuk menilai kualitas dan kecukupan perkiraan tersebut.

Alecos Papadopoulos

Baik. Anda benar juga. Tetapi, seperti yang Anda katakan, saya tidak yakin apa hal terbaik dalam situasi itu. Tetapi tampaknya ada beberapa cara untuk melakukannya. Pasti ada sesuatu yang bisa dikatakan tentang bias, tetapi Anda memunculkan poin yang bagus. Saya akan membatalkan pemungutan suara segera setelah itu akan membiarkan saya.

jmbejara

3

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$ $f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$ $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$

\frac{Cov (f (x), x)}{Var (x)} \approx E [f^{'} (x)] .

$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$

x

$x$

EDIT:

$f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ $f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$ $E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$ $\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$ $\beta$

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - \bar{x}) + ϵ,

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$

E [ϵ] = 0.

$E[\epsilon] = 0.$

E [f (E [x]) + f^{'} (E [X]) (x - E [x])] = f (E [x]) \neq E [f (x)] .

$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$

jmbejara
sumber

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - E [x])

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$

f (x)

$f(x)$

E [f (x)]

$E[f(x)]$

E [f (x)] \approx f (x) - \frac{Cov (f (x), x)}{Var (x)} \cdot [x - E (x)] ?

$E[f(x)] \approx f(x) - \frac {\text{Cov}(f(x),x)}{\text{Var}(x)}\cdot [x-E(x)]?$

3

Masalah Anda tampaknya seperti persamaan harga aset dengan preferensi rekursif (Epstein-Zin). Ketika tertarik pada harga aset, kita harus berhati-hati dengan linierisasi "ekonomi makro" yang biasa. Perkiraan seperti itu setara dengan kepastian, artinya koefisien solusi linierisasi tidak bergantung pada ukuran guncangan. Selain itu, semua variabel dalam solusi linierisasi akan berfluktuasi di sekitar kondisi stabil deterministik mereka. Akibatnya, risiko premia menjadi nol, yang jenisnya tidak tepat.

Salah satu solusinya adalah dengan menggunakan metode perturbasi tingkat tinggi (urutan ke-2 untuk mendapatkan premia risiko konstan, urutan ke-3 untuk premia yang bervariasi waktu). Ini mudah dilakukan dengan perangkat lunak yang ada (misalnya Dynare) jika Anda ingin menyelesaikan model secara numerik (dalam hal ini juga tidak perlu membuat linier secara manual). Jika bukan solusi analitik (perkiraan) lebih disukai, cara yang biasa adalah untuk melinearisasi dinamika kuantitas (misalnya pertumbuhan konsumsi), kemudian mendapatkan harga aset langsung dari persamaan Euler, menghitung ekspektasi menggunakan asumsi lognormalitas, seperti dalam Bansal & Yaron (2004) .

Misalnya, jika variabel huruf kecil adalah log, persamaan Euler yang biasa dapat ditulis ulang sebagai

1 = E_{t} [\exp (m_{t + 1} + r_{t + 1})]

$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$

$m_{t+1},r_{t+1}$

\begin{matrix} (1) & 0 = E_{t} [m_{t + 1}] + E_{t} [r_{t + 1}] + \frac{1}{2} {V Sebuah r_{t} [m_{t + 1}] + V Sebuah r_{t} [r_{t + 1}] + 2 C Hai v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]} \end{matrix}

$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$

$\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

r_{t}^{f} = - E_{t} [m_{t + 1}] - \frac{1}{2} V Sebuah r_{t} [m_{t + 1}]

$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$

dan dengan demikian kita harus memiliki

E_{t} [r_{t + 1}] - r_{t}^{f} + \frac{1}{2} V a r_{t} [r_{t + 1}] = C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]

$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$

Untuk benar-benar menghitung harga aset, orang akan melakukannya

menyatakan log-SDF sebagai fungsi linear dari beberapa variabel keadaan dan guncangan (misalnya pertumbuhan konsumsi log dalam kasus CRRA)
linierisasi pengembalian dalam hal rasio harga dividen kayu (perkiraan Campbell-Shiller), gantikan dengan (1).
menyatakan rasio log D / P sebagai variabel linear dalam keadaan, kemudian gunakan metode koefisien yang tidak ditentukan untuk mendapatkan solusi yang memuaskan (1).

Dalam praktiknya ini sedikit lebih rumit (terutama dengan preferensi EZ, ketika seseorang harus menggunakan pendekatan pertama untuk mendapatkan pengembalian pasar yang memasuki SDF, kemudian kedua kalinya untuk pengembalian lainnya), tetapi lebih banyak detail dapat ditemukan misalnya dalam Bansal & Yaron yang tertaut. kertas.

ivansml
sumber

1

Persis. Sepertinya kebingungan dalam utas ini berasal dari fakta bahwa dalam perkiraan orde pertama dari persamaan Euler untuk harga aset, tidak ada premi risiko. (Kovarian antara SDF dan kembali, tentu saja, pada dasarnya adalah urutan kedua.) Terima kasih telah menjelaskan ini.

nominal

Log-linierisasi persamaan Euler dengan istilah harapan

Jawaban: