Cara menemukan sudut alokasi efisien Pareto

Saya memiliki beberapa masalah dalam memahami bagaimana menemukan alokasi efisien Pareto yang berada di perbatasan kotak Edgeworth. Maksudku, yang interior, dapat ditemukan menggunakan kesetaraan , di mana A dan B adalah dua agen ekonomi pertukaran murni kita, sedangkan saya tidak dapat menemukan apa pun tentang alokasi perbatasan.$MRS_A = MRS_B$$A$$B$

Apakah ada prosedur matematika yang dapat saya gunakan atau hanya sesuatu yang harus saya hadapi dengan menggunakan intuisi (menggunakan definisi efisiensi Pareto yang saya maksud).

Agar lebih jelas, saya mengutip latihan dari buku kerja saya di mana ada dua agen dengan preferensi danuB(x1,x2)=x1+3x2, dan wakafωA=(1,0)danωB=(0,1). Pertanyaannya adalah untuk mengidentifikasi set Pareto.$u^A(x_1,x_2) =\sqrt{x_1x_2}$$u^B(x_1,x_2)=x_1+3x_2$$\omega^A=(1,0)$$\omega^B=(0,1)$

Ini solusinya, di mana garis biru adalah set Pareto.

Mari kita ambil contoh Anda:

• Pertama, kami mencatat bahwa kedua fungsi utilitas dapat dibedakan dan kuasi-cekung.
• $MRS_{x_1,y_1}$$MRS_{x_2,y_2}$

Kondisi ini jelas akan bertepatan dengan bagian dari solusi mengidentifikasi lokus pada alokasi PO internal.

Sekarang, untuk poin PO di sepanjang tepi kanan:

• Kami dapat menemukan batasan solusi internal dengan mengidentifikasi kisaran di mana kondisi MRS yang disebutkan di atas gagal.
• Karena kesetaraan gagal, kita tahu ketimpangan yang ketat harus menang.
• Arah dari ketimpangan ketat yang ada mengidentifikasi tepi di mana kami menemukan alokasi PO kami.

Jadi, saya kira ada dua cara untuk menjawab pertanyaan Anda.

1.) Untuk jenis grafik ini, di mana satu agen memiliki preferensi linier dan yang lainnya memiliki preferensi lengkung dan cembung, mudah untuk melihat bahwa lokus alokasi PO bergeser ke arah tepi kanan kotak Edgeworth. Dengan demikian, solusi sudut berjalan sepanjang tepi melintasi rentang di mana titik singgung tidak lagi interior.

2.) Jika Anda menghadapi situasi di mana, misalnya, kedua agen memiliki preferensi linier, Anda dapat menggunakan directionality dari ketimpangan yang ketat untuk mengidentifikasi di sepanjang tepi kotak Edgeworth mana Anda memiliki alokasi PO.

Contoh untuk 2.):

$U_1(x_1,y_1)=X_1+2Y_1$$U_2 = 2X_1+Y_1$

Sekarang, Anda harus melakukan hal berikut:

• $MRS_1 \neq MRS_2$
• menentukan arah ketimpangan yang ketat antara keduanya
• gunakan ini untuk mengidentifikasi di sepanjang tepi kotak mana Anda akan memiliki alokasi PO.

Petunjuk:

• $MRS_A<MRS_B$

• alokasi PO berada di sepanjang tepi kiri dan atas kotak Edgeworth

Edit:

Saya juga berpikir ini adalah referensi yang bagus:

http://nicolalimodio.com/wp-content/uploads/2015/11/ec202d.pdf

Semoga ada sesuatu yang membantu. Ini adalah masalah bagi saya juga ketika saya mulai belajar hal-hal seperti itu dan saya perlu sedikit membaca dan berlatih untuk akhirnya merasa nyaman dengan semuanya.