Model bencana langka Barro (2009) di AER: Bagaimana cara mendapatkan persamaan (10)?

Dalam Barro (2009) Bencana langka, harga aset, dan biaya kesejahteraan Barro mengembangkan model pohon Lucas dengan preferensi Epstein-Zin.

Pertanyaan saya menyangkut persamaan makalah (10). Dalam persamaan ini Barro menyatakan bahwa di bawah utilitas solusi optimal $U_t$ sebanding dengan konsumsi $C_t$ rased dengan kekuatan $1-\gamma$ , dimana $\gamma$ adalah koefisien penghindaran risiko relatif, yaitu

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

Sementara saya memahami logika dari hasil ini, saya tidak mengerti bagaimana dia mendapatkan konstanta $\Phi$ , yang ditunjukkan dalam catatan kaki 7 dari makalah yang disebutkan:

Alberto Giovannini dan Philippe Weil (1989, lampiran) menunjukkan bahwa, dengan fungsi utilitas dalam persamaan (9), utilitas dicapai, $U_t$ , sebanding dengan kekayaan pangkat $1-\gamma$ . Bentuk dalam persamaan (10) berikut karena $C_t$ secara optimal dipilih sebagai rasio konstan untuk kekayaan dalam kasus iid. Rumus untuk $\Phi$ adalah, jika $\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$ ,

$$\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$$

Barro mengutip makalah NBER 1989 oleh Giovannini dan Weil. Dalam tulisan ini saya bisa mendapatkan konstanta. Namun, tampak benar-benar berbeda dari versi Barro, karena saya berakhir dengan ekspresi yang mencakup , di mana R t adalah return on equity. Saya percaya Barro telah menggantikan E [ R 1 - γ t ] dengan solusi keseimbangan R t . Namun, ekspresinya tidak termasuk log atau ekspresi exp.$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$

Saya akan berterima kasih atas solusi atau petunjuk untuk solusi.

Saya pikir Barro sarana dalam catatan kaki yang Giovanni dan Weil menemukan persamaan yang sama, , tetapi menggunakan jalur optimal C t . Dalam makalah Barro, pendekatan yang berbeda mengingat bahwa dinamika C t adalah eksogen: C t = Y t oleh asumsi.$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$C_t$$C_t$$C_t=Y_t$

Barro menggunakan kasus batas ketika panjang periode mendekati 0. Mungkin yang mungkin mengganggu pembaca adalah bahwa model didefinisikan sebagai diskrit.

Tulis ulang model

Pertama, kita dapat menulis ulang model dengan panjang periode dan kemudian menggunakan δ → 0 . Dinamika PDB menulis log ( Y t + δ ) = log ( Y t ) + g δ + u t + δ + v t + δ dengan u t + δ ~ N ( 0 , δ σ 2 ) , dan v t + δ$\delta$$\delta\to 0$

$$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$$ $u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$ dengan probabilitas 1 - p δ dan log ( 1 - b ) dengan probabilitas p δ . The memenuhi utilitas U t = $v_{t+\delta}=0$$1-p\delta$$\log(1-b)$$p\delta$ $$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$$

1) Cari sebagai fungsi dari E t [ ( C t + $\Phi$$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

Dari sekarang kira ada sehingga U t = Φ C 1 - γ (catatan bahwa Φ tergantung pada δ apriori). Tentukan H ( U ) = [ ( 1 - γ ) U ] 1 - $\Phi$$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$\Phi$$\delta$ , utilitas memenuhi H( U t )= C 1 - θ t +$H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$ Kami menggantiUt: H(Φ)C 1 - θ t =C 1 - θ t +

$$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$$ $U_t$ Oleh karena itu, kita memperoleh untukCt≠0, $$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$ $C_t\neq 0$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$

2) Cari dari dinamika PDB$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

Caranya adalah dengan menemukan harapan di sisi kanan dari dinamika PDB. Mengambil ekspektasi dan menggunakan independensi antaraut+1danvt+1, berikut

$$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $u_{t+1}$$v_{t+1}$ Harapanexp(X) dimanaXmengikutiN $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $\exp(X)$$X$ adalah exp ( σ 2 / 2 ) . exp ( ( 1 - γ ) v t + δ ) adalah variabel acak sama dengan 1 dengan probabilitas 1 - p δ dan ( 1 - b ) 1 - γ dengan probabilitas p δ . Kami mengganti operator harapan: E t ( Y t + $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\exp(\sigma^2/2)$$\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$$1$$1-p\delta$$(1-b)^{1-\gamma}$$p\delta$ Akhirnya, kita menggunakanCt=Ytuntuk menghitung persamaan untukΦ: $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $C_t=Y_t$$\Phi$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$$

$\delta\to 0$

$$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $\delta^i$$i>1$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $g$$g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $\delta=1$$H$