Model bencana langka Barro (2009) di AER: Bagaimana cara mendapatkan persamaan (10)?

13

Dalam Barro (2009) Bencana langka, harga aset, dan biaya kesejahteraan Barro mengembangkan model pohon Lucas dengan preferensi Epstein-Zin.

Pertanyaan saya menyangkut persamaan makalah (10). Dalam persamaan ini Barro menyatakan bahwa di bawah utilitas solusi optimal Ut sebanding dengan konsumsi Ct rased dengan kekuatan 1γ , dimana γ adalah koefisien penghindaran risiko relatif, yaitu

Ut=ΦCt1γ

Sementara saya memahami logika dari hasil ini, saya tidak mengerti bagaimana dia mendapatkan konstanta Φ , yang ditunjukkan dalam catatan kaki 7 dari makalah yang disebutkan:

Alberto Giovannini dan Philippe Weil (1989, lampiran) menunjukkan bahwa, dengan fungsi utilitas dalam persamaan (9), utilitas dicapai, Ut , sebanding dengan kekayaan pangkat 1γ . Bentuk dalam persamaan (10) berikut karena Ct secara optimal dipilih sebagai rasio konstan untuk kekayaan dalam kasus iid. Rumus untuk Φ adalah, jika γ1 θ1 ,

Φ=(11γ){ρ+(θ1)g(1/2)γ(θ1)σ2(θ1γ1)p[E(1b)1γ1(γ1)Eb]}(γ1)/(1θ)

Barro mengutip makalah NBER 1989 oleh Giovannini dan Weil. Dalam tulisan ini saya bisa mendapatkan konstanta. Namun, tampak benar-benar berbeda dari versi Barro, karena saya berakhir dengan ekspresi yang mencakup , di mana R t adalah return on equity. Saya percaya Barro telah menggantikan E [ R 1 - γ t ] dengan solusi keseimbangan R t . Namun, ekspresinya tidak termasuk log atau ekspresi exp.E[Rt1γ]RtE[Rt1γ]Rt

Saya akan berterima kasih atas solusi atau petunjuk untuk solusi.

drcms02
sumber
Ini terlihat hebat! Terima kasih atas usaha anda Saya perlu beberapa hari untuk meninjau bagian 2 dan 3 dari jawaban Anda, tetapi itu terlihat sangat intuitif.
drcms02

Jawaban:

3

Saya pikir Barro sarana dalam catatan kaki yang Giovanni dan Weil menemukan persamaan yang sama, , tetapi menggunakan jalur optimal C t . Dalam makalah Barro, pendekatan yang berbeda mengingat bahwa dinamika C t adalah eksogen: C t = Y t oleh asumsi.Ut=ΦC1γCtCtCt=Yt

Barro menggunakan kasus batas ketika panjang periode mendekati 0. Mungkin yang mungkin mengganggu pembaca adalah bahwa model didefinisikan sebagai diskrit.

Tulis ulang model

Pertama, kita dapat menulis ulang model dengan panjang periode dan kemudian menggunakan δ 0 . Dinamika PDB menulis log ( Y t + δ ) = log ( Y t ) + g δ + u t + δ + v t + δ dengan u t + δ ~ N ( 0 , δ σ 2 ) , dan v t + δ =δδ0

log(Yt+δ)=log(Yt)+gδ+ut+δ+vt+δ
ut+δN(0,δσ2) dengan probabilitas 1 - p δ dan log ( 1 - b ) dengan probabilitas p δ . The memenuhi utilitas U t = 1vt+δ=01pδlog(1b)pδ
Ut=11γ{Ct1θ+11+ρδ[(1γ)EtUt+δ]1θ1γ}1γ1θ.

1) Cari sebagai fungsi dari E t [ ( C t + δΦEt[(Ct+δCt)1γ]

Dari sekarang kira ada sehingga U t = Φ C 1 - γ (catatan bahwa Φ tergantung pada δ apriori). Tentukan H ( U ) = [ ( 1 - γ ) U ] 1 - θΦUt=ΦC1γΦδ , utilitas memenuhi H( U t )= C 1 - θ t + 1H(U)=[(1γ)U]1θ1γ Kami menggantiUt: H(Φ)C 1 - θ t =C 1 - θ t +1

H(Ut)=Ct1θ+11+ρδH(EtUt+δ).
Ut Oleh karena itu, kita memperoleh untukCt0, 1
H(Φ)Ct1θ=Ct1θ+11+ρδH(Φ)(Et[Ct+δ1γ])1θ1γ.
Ct0
1H(Φ)=111+ρδ(Et[(Ct+δCt)1γ])1θ1γ.

2) Cari dari dinamika PDBEt[(Ct+δCt)1γ]

Caranya adalah dengan menemukan harapan di sisi kanan dari dinamika PDB. Mengambil ekspektasi dan menggunakan independensi antaraut+1danvt+1, berikut

(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).exp((1γ)ut+δ).exp((1γ)vt+δ).
ut+1vt+1 Harapanexp(X) dimanaXmengikutiN(
Et(Yt+δYt)1γ=exp((1γ)gδ).Etexp((1γ)ut+δ).Etexp((1γ)vt+δ).
exp(X)X adalah exp ( σ 2 / 2 ) . exp ( ( 1 - γ ) v t + δ ) adalah variabel acak sama dengan 1 dengan probabilitas 1 - p δ dan ( 1 - b ) 1 - γ dengan probabilitas p δ . Kami mengganti operator harapan: E t ( Y t + δN(0,σ2)exp(σ2/2)exp((1γ)vt+δ)11-halδ(1-b)1-γhalδ Akhirnya, kita menggunakanCt=Ytuntuk menghitung persamaan untukΦ: 1
Et(Yt+δYt)1-γ=exp((1-γ)gδ).exp((1-γ)2σ2δ2).(1-halδ+halE[(1-b)1-γ]δ).
Ct=YtΦ
1H(Φ)=1-11+ρδ{exp((1-θ)gδ).exp((1-γ)(1-θ)σ2δ2).(1-halδ+halE[(1-b)1-γ]δ)1-θ1-γ}.

δ0

1H(Φ)=1(1ρδ).(1+(1θ)gδ).(1+(1γ)(1θ)σ2δ2).(11θ1γpδ+1θ1γpE[(1b)1γ]δ).
δii>1
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
gg=g+σ22pEb
1H(Φ)=ρδ(1θ)gδ+(1θ)σ22δ(1θ)pEbδ(1γ)(1θ)σ2δ2+1θ1γpδ1θ1γpE[(1b)1γ]δ.
δ=1H
GuiWil
sumber