Apa algoritma tercepat untuk menghitung peringkat matriks persegi panjang?

Diberi matriks (dengan asumsi ), apa algoritma tercepat untuk menghitung peringkat dan basis kolomnya?$m \times n$$m \ge n$

Saya sadar ini dapat diselesaikan melalui persimpangan matroid linier, yang menyiratkan algoritma deterministik waktu dan algoritma acak waktu . Apakah ada algoritma deterministik waktu yang lebih langsung mengurangi masalah (atau eliminasi Gaussian) menjadi penggandaan matriks?$O(mn^{1.62})$$O(mn^{\omega-1})$$O(mn^{\omega-1})$

Anda dapat membawa -matrix ke dalam bentuk eselon dalam waktu O ( n ω + ϵ ) untuk setiap ϵ > 0 . Lihat buku "Teori Kompleksitas Aljabar" oleh Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Bagian 16.5.$2n \times n$$O(n^{\omega + \epsilon})$$\epsilon > 0$

Sekarang Anda menerapkan prosedur ini kali untuk Anda m × n -matrix. Ini memberikan algoritma dengan operasi aritmatika O ( m n ω - 1 ) .$m/n$$m \times n$$O(mn^{\omega-1})$

Jika Anda membawa -matrix ke dalam bentuk eselon, maka itu berisi matriks nol ukuran n × n sesudahnya. Anda mengambil n × n -matrix yang tersisa, tambahkan n × n- blok baru dari matriks input Anda dan bawa ini ke bentuk eselon dan seterusnya.$2n \times n$$n \times n$$n \times n$$n \times n$