Apa yang cocok untuk sirkuit terikat-treewidth?

Satu dapat berbicara satu treewidth dari rangkaian Boolean, mendefinisikan sebagai treewidth dari "moralized" grafik pada kabel (simpul) yang diperoleh sebagai berikut: connect kabel dan setiap kali adalah output dari gerbang memiliki sebagai masukan (atau dan sebaliknya); sambungkan kabel dan setiap kali digunakan sebagai input ke gerbang yang sama. Sunting: satu dapat secara setara mendefinisikan treewidth dari sirkuit sebagai grafik yang mewakili itu; jika kita menggunakan asosiatif untuk mengembalikan semua gerbang AND dan OR untuk mendapatkan paling banyak dua, maka treewidth menurut definisi mana pun adalah sama hingga faktor .$a$$b$$b$$a$$a$$b$$3$

Setidaknya ada satu masalah yang diketahui tidak dapat diatasi secara umum tetapi dapat ditelusuri pada sirkuit Boolean dari treewidth terikat: diberikan probabilitas untuk masing-masing kabel input diatur ke 0 atau 1 (terpisah dari yang lain), hitung probabilitas bahwa gerbang keluaran tertentu adalah 0 atau 1. Ini umumnya # P-keras oleh pengurangan dari misalnya # 2SAT, tetapi dapat diselesaikan di PTIME pada sirkuit yang treewidth diasumsikan kurang dari konstanta, menggunakan algoritma pohon persimpangan .

Pertanyaan saya adalah untuk mengetahui apakah ada masalah lain , di luar perhitungan probabilistik, yang diketahui tidak dapat dipecahkan secara umum tetapi dapat ditelusuri untuk sirkuit terikat-treewidth, atau yang kompleksitasnya dapat digambarkan sebagai fungsi dari ukuran sirkuit dan juga treewidth-nya. Pertanyaan saya tidak spesifik untuk kasus Boolean; Saya juga tertarik pada sirkuit aritmatika di atas semir lainnya. Apakah Anda melihat masalah seperti itu?

Kita sekarang memahami bahwa untuk setiap ikatan terikat $k \in \mathbb{N}$ pada treewidth, kita dapat mengubah sirkuit Boolean dari treewidth kurang dari $k$ menjadi apa yang disebut sirkuit d-SDNNF , dalam waktu linier dan dengan ketergantungan pada $k$ sebagai eksponensial tunggal.

Yang disebut d-SDNNF adalah rangkaian yang memuaskan kondisi penggunaan negasi (hanya pada daun), determinisme (input ke gerbang OR saling eksklusif), dekomposabilitas (input ke gerbang AND bergantung pada set variabel variabel yang terpisah) ), dan struktur (gerbang AND membagi variabel dengan cara tertentu sepanjang rangkaian, seperti yang dijelaskan oleh v-tree). Kelas ini telah dipelajari dalam kompilasi pengetahuan dan dikenal untuk menikmati SAT traktable dan penghitungan model traktabel (menangkap kembali evaluasi dan penghitungan probabilistik), tetapi masalah lain telah dipelajari untuk kelas ini seperti enumerasi , kuantifikasi , dll.

Jadi salah satu cara untuk menggunakan batasan pada treewidth dari sebuah sirkuit adalah dengan mengubahnya menjadi kelas d-SDNNF yang memiliki sifat yang lebih eksplisit dalam hal semantik sirkuit, dan untuk itu ada beberapa hasil yang diketahui tentang keterlacakan berbagai tugas.