Pertimbangkan alasan berikut:
Misalkan menunjukkan kompleksitas Kolmogorov dari string . Teorema ketidaklengkapan Chaitin mengatakan itux
untuk konsisten dan cukup kuat resmi sistem , terdapat konstan (tergantung hanya pada sistem formal dan bahasanya) sehingga untuk setiap string , tidak dapat membuktikan bahwa .T x S K ( x ) ≥ T
Biarkan menjadi fungsi Boolean pada variabel st kompleksitas Kolmogorov spektrumnya paling banyak . Misalkan menjadi kompleksitas sirkuit , yaitu ukuran komputasi sirkuit minimal . n k S ( f n ) f n f n
A (kasar) terikat atas untuk adalah untuk konstanta dan adalah fungsi berang-berang yang sibuk (langkah maksimum yang mungkin dilakukan penghentian Mesin Turing dengan deskripsi ukuran dapat melakukan). (Untuk setiap dalam spektrum, buat minterm dari penetapan kebenaran yang sesuai, dan ambil ATAU dari semua minterm ini.)S ( f n ) ≤ c ⋅ B B ( k ) ⋅ n c B B ( k )
Misalkan sekarang untuk keluarga tak terbatas dari fungsi Boolean , kami memiliki bukti formal bahwa memerlukan sirkuit ukuran superlinear, yaitu L
Jika kita mengambil menjadi cukup besar, kita akan memiliki g (n)> c \ cdot BB (T)
Secara khusus ini akan menjadi bukti bahwa kompleksitas Kolmogorov dari spektrum setidaknya , yang tidak mungkin.
Ini mengarah pada dua pertanyaan:
1) Seharusnya ada yang salah dalam alasan di atas. Terutama karena itu akan membuat sirkuit batas bawah lebih rendah secara formal tidak dapat dibuktikan.
2) Apakah Anda tahu pendekatan serupa untuk menunjukkan hambatan untuk batas bawah, yaitu, menunjukkan bahwa jenis batas bawah (sirkuit) tertentu secara formal tidak dapat dibuktikan?
sumber
Jawaban:
Tidak ada yang salah dengan argumen Anda, tetapi tidak ada kontradiksi. Anda membuktikan bahwa dari beberapa cukup besar kompleksitas Kolmogorov dari spektrum f n selalu setidaknya T . Tetapi pernyataan ini sepele benar! Meskipun kita tidak dapat membuktikan bahwa kompleksitas Kolmogorov dari satu string besar, jika kita memiliki urutan, maka dari beberapa titik itu harus mengandung hanya string kompleksitas besar. Jadi, N apa yang kamu dapat? Harus memenuhi N > g - 1 ( c ⋅ B B ( T ) ) , berapakah angka yang tidak dapat kita hitung (karena BN fn T N N>g−1(c⋅BB(T)) ), jadi tidak ada masalah sama sekali.BB
sumber
Ini adalah situasi bermasalah yang lebih sederhana. Misalkan menjadi string pertama (dalam urutan leksikografis) sedemikian rupa sehingga K ( A ( k ) ) ≥ k ; string seperti itu terbukti ada untuk semua k . Kemudian K ( A ( k ) ) ≥ k .A(k) K(A(k))≥k k K(A(k))≥k
Penyebabnya mungkin karena sistem formal tidak dapat menghitung .BB(T)
Sunting: Ini adalah situasi bermasalah "lebih eksplisit". Biarkan menjadi panjang maksimal string yang kompleksitas Kolmogorov-nya paling banyak k ; α ( k ) terbukti ada. Kemudian K ( 0 α ( k ) + 1 ) > k .α(k) k α(k) K(0α(k)+1)>k
sumber