Bagaimana cara menghitung diameter rantai dari jumlah gigi?

Cukup dengan mengetahui jumlah gigi pada rantai, dapatkah kita menentukan diameter yang akurat?

chainring framebuilding Telinga Anjing
sumber

Pada dasarnya ada 3 lingkaran dengan diameter berbeda (ujung gigi, pangkal, atau di mana rantai itu berada) - yang mana yang Anda inginkan? Untuk apa diameternya?

freiheit

jawaban yang indah di sini, tetapi bukankah diameternya dua kali radius lingkaran?

jackJoe

@JackJoe ya, tapi itu tidak membantu karena Anda juga tidak tahu radiusnya.

freiheit

@ JackJoe: Benar. Tapi kami tidak punya info selain jumlah gigi, per OP.

zenbike

Telinga Anjing: Silakan lihat pertanyaan di Math.Stackexchange.com. Ini adalah pemeriksaan yang jauh lebih kompleks dan lebih menyeluruh dari masalah ini. Sedangkan untuk halaman ini, saya sarankan Anda memilih jawaban @Lantius. Milik saya baik, dan praktis untuk sebagian besar tujuan. Ini akan masuk dalam ruang lingkup kesalahan alat pengukuran umum. Itu tidak sepenuhnya akurat, dan Lantius menjawab atasannya.

zenbike

Jawaban:

Chainring adalah poligon beraturan sisi- n di mana n adalah jumlah gigi. Sisi panjang s poligon adalah jarak dari ujung-ke-ujung setiap gigi chainring.

Rumus untuk jari - jari poligon beraturan adalah:

_{(sumber: mathopenref.com )}

Menggunakan 12.75mm zenbike di atas untuk s , kita mendapatkan 107.61 untuk jari-jari, atau 215.22mm untuk diameter, yang sangat dekat dengan perkiraannya.

Membandingkan dua formula menunjukkan bahwa jangka panjang, seperti yang diharapkan, dapat dihilangkan. Ini membuat kita dengan:

1 / sin ( pi / n ) vs. n / pi

Untuk besar n , istilah-istilah itu konvergen, memperkenalkan kesalahan hanya .12mm ketika n = 53. Ini sedikit lebih besar karena n semakin kecil, berbeda dengan .64mm untuk n = 11.

Untuk semua tujuan praktis, saya hanya menggunakan s * n / pi , bahkan untuk gigi terkecil yang Anda temui akan berada dalam milimeter.

lantius
sumber

Saya tertarik dengan matematika di sini. Bisakah Anda menjelaskan (bagi kita yang memiliki waktu lebih sedikit di kelas matematika) apa yang diwakili oleh masing-masing variabel? Saya pikir saya mengikuti Anda, tetapi saya tidak yakin. Rumus s * n / pi sama dengan apa yang saya lakukan, benar? Dari mana datangnya ketidakakuratan untuk sejumlah kecil pihak? (Dengan asumsi saya mengikuti Anda dan memiliki variabel yang benar.)

zenbike

Apakah ini garis lurus antara gigi, dan bukan busur yang digambarkan?

zenbike

Itu garis lurus. Misalnya, jika Anda memiliki rantai yang sangat kecil dengan delapan gigi (simpul), Anda dapat melacak oktagon yang tampak bersih di sekitarnya. Seperti yang Anda duga, mengukur jarak garis lurus di sepanjang tepi oktagon itu dan mengalikannya kehilangan sedikit jarak tambahan yang akan ditorehkan oleh busur di antara titik-titik itu, sehingga total lingkar Anda keluar sedikit lebih pendek. Ketika poin Anda semakin dekat, perbedaannya semakin kecil - poligon dengan sejuta sisi kecil akan hampir tidak dapat dibedakan dari lingkaran.

lantius

Itu yang dipikirkan. Terimakasih atas klarifikasinya. Jadi bagaimana Anda beradaptasi untuk busur yang hilang dalam pengukuran?

zenbike

Matematika yang sama dalam format yang sedikit lebih mudah dicerna adalah fungsi crd (theta) en.wikipedia.org/wiki/Chord_(geometry) - ini menghubungkan panjang chord (pitch rantai dalam kasus ini) dengan radius dan sudut. Diadaptasi di sini, 12,7mm = r crd (360 / n) = 2 * r * sin (180 / n); oleh karena itu r = 6.35 / sin (180 / n) mm. Kami membutuhkan TeX di sini.

Ehryk

Jika Anda hanya tahu nada rantai (standar untuk sebagian besar sepeda) dan jumlah gigi, maka Anda dapat sepenuhnya menggambarkan lingkaran (dan n-gon) melalui pusat pin saja . Saya akan melakukan yang terbaik untuk melakukan rumus matematika dengan cara yang dapat dibaca dengan teks, tetapi saya akan sepenuhnya menggambarkan masing-masing dari empat lingkaran / n-gon:

Lingkaran Chainring

Membiarkan:

n = jumlah gigi

L = pitch rantai (panjang tautan) (12,7mm untuk sebagian besar sepeda)

Lihat di bawah untuk pengukuran lembah, roller top, dan top gigi. Perhatikan bahwa puncak gigi dapat bervariasi di antara produsen dan akan bervariasi sepanjang umur cincin. Metode alternatif di bagian bawah mungkin adalah metode termudah untuk digunakan untuk izin bingkai.

Karena Anda tahu nada rantai (1/2 "atau 12,7mm adalah rantai seri 40 yang biasanya digunakan pada sepeda), pin rantai akan membentuk n-gon biasa (poligon dengan sisi-n dengan panjang sisi-n sama panjang) , dengan masing-masing sisi sama dengan 12,7mm. Rumus untuk perimeter n-gon ini agak sederhana (di bawah) dan akan baik-baik saja untuk sebagian besar perkiraan. Perhatikan bahwa ini juga sama dengan panjang rantai yang akan dililitkan di sekitar ring (rantai akan mengikuti n-gon, bukan lingkaran).

Perimeter n-gon dibuat oleh pin center

Perimeter n-gon = L * n = 12,7 * n mm

Namun, ini tidak sepenuhnya akurat untuk menggambarkan lingkaran melalui pusat pin. Rumus yang lebih akurat adalah di bawah ini:

Lingkari pusat pin

keliling = pi * L / (sin (180 / n)) = 39.8982 / (sin (180 / n)) mm

radius = L / (2 sin (180 / n)) = 6.35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad' (radius pin center)

diameter = L / sin (180 / n) = 12,7 / sin (180 / n) mm = 'pcD' (diameter pusat pin)

Sekarang, kita akan memerlukan informasi tambahan untuk menggambarkan dua lingkaran / n-gon terkait:

Untuk lantai lembah dan puncak roller, kita perlu mengetahui jari-jari atau diameter roller rantai di sekitar pin. Menurut http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain , rantai seri 40 memiliki diameter rol 0,312 "(7.92mm). Karena jarak dari pusat-pin ke dasar lembah adalah jari-jari roller:

Lingkari / n-gon tentang lantai lembah

rRad = jari-jari roller (3,96 mm untuk sebagian besar sepeda)

Perimeter n-gon lantai lembah = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3,96) * sin (180 / n) mm

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 mm

floorDiameter = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7.92 mm

Lingkari / n-gon bagian atas roller rantai

Perimeter n-gon puncak rol = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3.96) * sin (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3,96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7.92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7.92) mm

Sekarang, untuk menggambarkan lingkaran akhir / n-gon, kita membutuhkan tinggi gigi di atas pusat pin. Saya berharap ini menjadi positif pada cincin rantai baru dan negatif pada yang dipakai:

Lingkari / n-gon ujung gigi

t = tinggi ujung gigi di atas pusat pin (negatif jika di bawah)

Perimeter n-gon ujung gigi = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

Sebagai alternatif, untuk membuat perhitungan ini sedikit lebih mudah (namun sedikit kurang akurat pada cincin rantai yang sudah aus), Anda dapat mengukur jarak gigi Anda sendiri. Idealnya mereka akan sedikit lebih panjang dari pitch rantai, tetapi itu akan berubah ketika rantai memakai:

Lingkari / n-gon ujung gigi - Alternatif

tSpacing = jarak rata-rata di antara ujung gigi

Perimeter n-gon ujung gigi = n * tSpacing

tipRadius = tSpacing / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

Ehryk
sumber

Sebuah koreksi kecil untuk formula Ehryk terkait dengan lantai lembah dan tips. Menurut [1], rantai 40 seri memiliki diameter rol 7,77mm (0,306 inci). Ehryk adalah untuk rantai seri 41. [1]: en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain

EDIT:

Saya memposting pertanyaan ini di math.se , dan mendapat jawaban yang menarik , yang pada dasarnya menegaskan jawaban Lantius sebagai model matematika yang lebih akurat, dan saya menjawab sebagai perkiraan praktis untuk dunia sepeda.

Dengan hanya jumlah gigi, tidak.

Namun mengingat jumlah gigi, dan jarak yang diperlukan dari ujung ke ujung setiap gigi agar sesuai dengan rantai untuk merek cincin rantai yang digunakan, Anda dapat dengan mudah menentukan kelilingnya.

Dengan keliling, itu matematika sederhana untuk menentukan diameter.

Bagilah diameter dengan Pi (3,14159 ke desimal ke-5)

C = D / 3.14159

Jadi jika jumlah gigi adalah 53, dan jaraknya adalah 12,75mm, kita memiliki keliling 675,75 milimeter.

675,75 milimeter dibagi 3.14159 memberikan diameter 215,1 milimeter. Dikonversi dan dibulatkan menjadi 2 tempat, berukuran 8,46 inci.

Saya telah mengukur diameter cincin rantai Shimano 53 gigi, dan ukurannya 8,51 inci. Jadi saya percaya matematika saya harus seakurat toleransi dalam pengukuran saya.

Diagram rumus dan metode

zenbike
sumber

Tentu saja, dengan chainring Anda memiliki pertanyaan tentang apa itu "diameter" - bagaimana Anda mengukurnya? Ketika dihitung dari rumus di atas Anda harus mendapatkan diameter lingkaran rantai - pada dasarnya lingkaran yang digambarkan oleh pin rantai - bukan diameter terdalam atau terluar.

Daniel R Hicks

Sebenarnya, angka ini didasarkan pada pengukuran dengan caliper vernier dari ujung gigi ke ujung gigi. Ini adalah lingkaran yang digambarkan oleh lingkaran yang ditempatkan untuk menyentuh ujung setiap gigi. Dan saya berasumsi diameter luar, karena itulah yang penting untuk pembangunan kembali kerangka.

zenbike

Dan harap itu bukan elips :-)

Karl

Ya, sekarang saya berpikir tentang itu rantai harus sedikit longgar pada chainring - salah satu cara untuk (secara kasar) memeriksa peregangan rantai adalah dengan menarik keluar pada link paling depan dan melihat berapa banyak memberikan - harus sekitar setengah ketebalan rantai. Tapi tetap saja Anda tidak (secara teori, setidaknya) akan menghitung diameter terluar dengan rumus Anda.

Daniel R Hicks

@ Daniel R Hicks: Bagaimana itu? Sebenarnya itu bekerja, seperti yang saya lakukan matematika, dan memeriksanya dengan cincin rantai fisik, dan cocok. Apakah saya tidak menggambarkan proses dengan cukup baik, mungkin?

zenbike