MLE dari parameter lokasi dalam distribusi Cauchy

Setelah pemusatan, dua pengukuran x dan −x dapat diasumsikan sebagai pengamatan independen dari distribusi Cauchy dengan fungsi kerapatan probabilitas:

$f(x :\theta) =$ $1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

Tunjukkan bahwa jika MLE dari θ adalah 0, tetapi jika x 2 > 1 ada dua MLE's dari θ , sama dengan ± $x^2≤ 1$$\theta$$x^2>1$$\theta$$\sqrt {x^2-1}$

Saya pikir untuk menemukan MLE saya harus membedakan kemungkinan log:

=∑2(xi-θ$dl\over d\theta$ $=\sum$ =2(-x-θ$2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ +2(x-θ$2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ =$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

Begitu,

=2(x+θ$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

yang kemudian saya sederhanakan

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

Sekarang saya telah menabrak dinding. Saya mungkin salah pada beberapa titik, tapi bagaimanapun saya tidak yakin bagaimana menjawab pertanyaan. Adakah yang bisa membantu?

Ada kesalahan ketik matematika dalam perhitungan Anda. Kondisi pesanan pertama untuk maksimum adalah:

$$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$$

If $x^2\leq 1$ then the term in the parenthesis cannot be zero (for real solutions of course), so you are left only with the solution $\hat \theta =0$.

If $x^2 >1$ you have $2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$ so, apart from the candidate point $\theta =0$ you also get

$$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$$

Anda juga harus membenarkan alasan dalam hal ini $\hat \theta =0$ tidak lagi menjadi MLE.

TAMBAHAN

Untuk $x =\pm 0.5$ grafik log-kemungkinannya adalah

sementara untuk $x =\pm 1.5$ grafik log-kemungkinan adalah,

Sekarang yang harus Anda lakukan adalah membuktikannya secara aljabar dan kemudian bertanya-tanya "baiklah - sekarang mana dari keduanya yang harus saya pilih?"