Apakah ada teorema yang mengatakan bahwa menyatu dalam distribusi ke normal seperti pergi ke tak terhingga?

Biarkan menjadi sembarang distribusi dengan mean, , dan deviasi standar, ditentukan . Teorema batas pusat mengatakan bahwa menyatu dalam distribusi ke distribusi normal standar. Jika kita mengganti dengan sampel standar deviasi , apakah ada teorema yang menyatakan bahwa menyatu dalam distribusi ke t-distribusi? Karena untuk besar $X$ $\mu$ $\sigma$

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$

σ

$\sigma$

S

$S$

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{S}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$

n

$n$ distribusi t mendekati normal, teorema, jika ada, dapat menyatakan bahwa batasnya adalah distribusi normal standar. Oleh karena itu, bagi saya tampaknya bahwa distribusi-t tidak terlalu berguna - bahwa mereka hanya berguna ketika kira-kira normal. Apakah ini masalahnya?

X

$X$

Jika memungkinkan, apakah Anda akan menunjukkan referensi yang mengandung bukti CLT ini ketika digantikan oleh ? Referensi semacam itu lebih disukai menggunakan konsep teori ukuran. Tetapi apa pun akan menjadi hal yang hebat bagi saya pada saat ini. $\sigma$ $S$

distributions normal-distribution convergence central-limit-theorem t-distribution Esp Flo
sumber

Aplikasi teorema Slutsky, versi yang kadang-kadang disebut sebagai lemma konvergen , menunjukkan bahwa batasnya adalah standar normal.

kardinal

Jawaban:

Untuk menguraikan komentar @ cardinal, pertimbangkan sampel iid berukuran dari variabel acak dengan beberapa distribusi, dan momen terbatas, mean dan standar deviasi . Tentukan variabel acak $n$ $X$ $\mu$ $\sigma$

Z_{n} = \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - μ)

$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$ Teorema Limit Sentral dasar mengatakan bahwa

Z_{n} \to_{d} Z \sim N (0, σ^{2})

$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$

Pertimbangkan sekarang variabel random di mana adalah standar deviasi sampel . $Y_n = \frac 1{S_n}$ $S_n$ $X$

Sampel iid dan momen sampel memperkirakan momen populasi secara konsisten. Begitu

Y_{n} \to_{p} \frac{1}{σ}

$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$

Masukkan @ cardinal: Teorema Slutsky (atau lemma) mengatakan, antara lain, bahwa mana adalah konstanta . Ini adalah kasus kami

{Z_{n} \to_{d} Z, Y_{n} \to_{p} c} \Rightarrow Z_{n} Y_{n} \to_{d} c Z

$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$

c

$c$

Z_{n} Y_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X_{n}} - μ}{S_{n}} \to_{d} \frac{1}{σ} Z \sim N (0, 1)

$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$

Adapun kegunaan dari distribusi Siswa, saya hanya menyebutkan bahwa, dalam "kegunaan tradisional" yang terkait dengan tes statistik masih diperlukan ketika ukuran sampel sangat kecil (dan kami masih dihadapkan dengan kasus-kasus seperti itu), tetapi juga, bahwa ia memiliki telah banyak diterapkan pada model seri autoregresif dengan heteroskedastisitas (kondisional), terutama dalam konteks Ekonometrika Keuangan, di mana data seperti itu sering muncul.

Alecos Papadopoulos
sumber

+1, selalu menyenangkan untuk melihat ketika jawaban atas pertanyaan teoritis terkait dengan kegunaannya dalam praktik

Andy

@Andy saya setuju, itu yang ideal.

Alecos Papadopoulos